[논문 리뷰] Regularity of the extremal solutions associated to elliptic systems

A. Aghajani, Craig Cowan|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초선형 비선형성을 갖는 완전히 결합된 타원계에 대해 극값 해의 유계성(L∞ 정칙성)을 확립한다. 비선형성의 渐近적 행동을 비율 $ \tau_{\pm} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)f''(t)}{f'(t)^2} $을 통해 분석함으로써, 극값 해가 차원 $ N < \frac{2\alpha_*(2-\tau_+)+2\tau_+}{\tau_+}\max\{1,\tau_+\} $ 에서는 유계임을 증명한다. 여기서 $ \alpha_* $ 는 $ \tau_- $ 와 $ \tau_+ $ 에 의해 유도된 이차다항식의 가장 큰 근이다. 이는 $ N < 5 $ 에서는 항상 $ L^\infty $ 정칙성을 보이며, $ \tau_- = \tau_+ = \tau $ 인 경우 이 경계는 $ N < 10 $ 으로 확장된다.

ABSTRACT

We examine the elliptic system given by \begin{eqnarray*} \qquad \left\{ \begin{array}{lcl} -Δu =λf(v) \quad \mbox{ in } Ω -Δv =γf(u) \quad \mbox{ in } Ω, u=v =0, \quad \mbox{ on } \pOm \end{array} ight. \end{eqnarray*} where $λ,γ$ are positive parameters, $Ω$ is a smooth bounded domain in $\IR^N$ and $f$ is a $C^{2}$ positive, nondecreasing and convex function in $[0,\infty)$ such that $\frac{f(t)}{t} ightarrow\infty$ as $t ightarrow\infty$. Assuming $$01$ denotes the largest root of the $2^{nd}$ order polynomial $$P_{f}(α,τ_{-},τ_{+}):=(2-τ_{-})^{2} α^{2}- 4(2-τ_{+})α+4(1-τ_{+}).$$ As a consequences, $u^*, v^*\in L^\infty(Ω)$ for $N&lt;5$. Moreover, if $τ_{-}=τ_{+}$, then $u^*, v^*\in L^\infty(Ω)$ for $N&lt;10$.

연구 동기 및 목표

• 완전히 결합된 타원계에서 볼록하고 초선형 비선형성을 갖는 극값 해의 정칙성 문제를 해결하기 위해.
• 극값 해가 더 이상 유계가 아니게 되는 최적의 차원 임계값 $ N(f) $ 를 결정하기 위해.
• $ f(t) = e^t $ 와 $ f(t) = (1+t)^p $ 에 대한 기존 결과를 $ \tau_{-} \leq \tau_{+} < 2 $ 를 만족하는 더 넓은 비선형성의 클래스로 일반화하기 위해.
• 비선형성 $ f $ 의 渐近적 볼록성에 따라 극값 해가 $ L^\infty(\Omega) $ 에서 유계로 유지되는 차원 $ N $ 에 대한 날카로운 경계를 유도하기 위해.

제안 방법

• 최소 해의 안정성에서 유도된 반안정성 부등식 $ \sqrt{\lambda\gamma}\int \sqrt{f'(u)f'(v)}\phi^2 \leq \int |\nabla\phi|^2 $ 을 사용하며, 이는 모든 $ \phi \in H^1_0(\Omega) $ 에 대해 성립한다.
• 큰 $ u $ 와 $ v $ 값에 대한 분석을 국소화하기 위해 $ \tilde{f}(t) = \max\{f(t), T\} $ 를 사용한 가중치 테스트 함수 기법을 도입하여, $ f'(t)^{1-\alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ 에 대한 $ L^1 $ 추정을 가능하게 한다.
• 횔더 부등식과 대칭성 원리를 적용하여 $ I = \int f'(u)^{1/2 - \alpha}f'(v)^{1/2}\tilde{f}(u)^{2\alpha} $ 와 $ J = \int f'(v)^{1/2 - \alpha}f'(u)^{1/2}\tilde{f}(v)^{2\alpha} $ 의 추정을 결합하고, 둘 다 무한대가 되면 모순이 발생함을 보여, 이로 인해 유계성을 유도한다.
• 이차다항식 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) = (2-\tau_-)^2\alpha^2 - 4(2-\tau_+)\alpha + 4(1-\tau_+) $ 를 유도하고, 이를 통해 임계 차원을 정의하는 데 사용되는 $ \alpha_* > 1 $ 을 그 가장 큰 근으로 선택한다.
• 해의 $ f'(v)^{(2-\tau_+)\alpha_* + \tau_+} \in L^1(\Omega) $ 과 $ f'(v)^{\frac{(2-\tau_+)\alpha_* + \tau_+}{\tau_+}} \in L^1(\Omega) $ 이 성립하는 것을 증명한 후, 표준 타원형 정칙성 이론을 적용하여 $ v^* $ 의 유계성을 확보하고, 대칭성에 의해 $ u^* $ 도 동일하게 유계임을 도출한다.
• $ \alpha > 1 $ 이고 $ \tau_+ < 2 $ 일 때 $ f'(t)^{1/2 - \alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ 가 큰 $ t $ 에서 증가함을 이용하여 적분 가능성과 성장 조절을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $ f $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, 시스템 $ -\Delta u = \lambda f(v), -\Delta v = \gamma f(u) $ 에서 극값 해 $ (u^*, v^*) $ 가 $ L^\infty(\Omega) $ 에서 유계일 수 있는가?
• RQ2 비선형성 $ f $ 의 渐近적 행동에 따라, $ u^*, v^* \in L^\infty(\Omega) $ 가 되는 최적의 차원 $ N(f) $ 는 무엇인가? 이는 $ N < N(f) $ 일 때 항상 성립한다.
• RQ3 비율 $ \tau_{\pm} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)f''(t)}{f'(t)^2} $ 에 따라 정규성 임계값이 어떻게 달라지는가? 특히 $ \tau_- = \tau_+ $ 일 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 기존에 알려진 $ f(t) = e^t $ 에 대해 $ N < 10 $ 까지 $ L^\infty $ 정칙성이 성립하는 결과를, 동일한 $ \tau $ 값을 갖는 더 넓은 비선형성의 클래스로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 모든 반안정 해에 대해 $ \lambda, \gamma $ 와 무관하게 $ f'(t)^{1-\alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ 에 대한 통일된 $ L^1 $ 유계성이 존재하는가? 이는 $ L^\infty $ 정칙성을 암시하는가?

주요 결과

• 극값 해 $ (u^*, v^*) $ 는 차원 $ N < \frac{2\alpha_*(2-\tau_+)+2\tau_+}{\tau_+}\max\{1,\tau_+\} $ 에서 항상 $ L^\infty(\Omega) $ 에서 유계이며, 여기서 $ \alpha_* > 1 $ 은 이차다항식 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) = (2-\tau_-)^2\alpha^2 - 4(2-\tau_+)\alpha + 4(1-\tau_+) $ 의 가장 큰 근이다.
• $ N < 5 $ 일 경우, $ \tau_+ < 2 $ 라면 특정 $ f $ 에 관계없이 극값 해는 항상 $ L^\infty(\Omega) $ 에서 유계이다.
• $ \tau_- = \tau_+ = \tau $ 이면, $ u^*, v^* \in L^\infty(\Omega) $ 이며 $ N < 10 $ 이다. 이는 경계 $ N(f) = 2 + 4\frac{1+\sqrt{\tau}}{\tau} \geq 10 $ 에서 등호가 성립한다.
• $ f(t) = e^t $ 또는 $ f(t) = e^{t^\alpha} $ 인 경우, $ \tau_- = \tau_+ = 1 $ 이면 $ N(f) = 10 $ 이 되며, 지수 비선형성에 대한 기존 결과를 복원한다.
• $ f(t) = (1+t)^p $ 이고 $ p > 1 $ 이면, 경계는 $ N(f) = 2 + \frac{4}{p-1}(p + \sqrt{p^2 - p}) $ 로 주어지며, 이는 [2] 및 [6] 에서의 이전 결과와 일치한다.
• 증명은 $ I $ 와 $ J $ 가 모두 무한대일 경우 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) \geq 0 $ 이 성립해야 하며, 이는 $ \alpha $ 를 $ \alpha_* $ 근처로 선택했을 때 모순이 발생함을 보여, 핵심 가중치 함수에 대한 통일된 $ L^1 $ 유계성이 유도됨을 의미한다.