[논문 리뷰] Regularity results for a class of obstacle problems with $p,q-$growth conditions

Michele Caselli, Michela Eleuteri외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 38인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 에너지 밀도에서 비표준 (p,q)-성장 조건을 가지는 장애물 문제의 해에 대해, 장애물과 계수에 대한 약한 정규성 가정 하에 국소 리프시츠 연속성을 확립한다. 주요 기여는 비자기적이고 비자기적인 적분형 F(x,ξ)를 가지며 (p,q)-성장과 스파atial 변수에 대한 소볼레프 유형의 의존성을 만족하는 변분부등식에 대해 새로운 정규성 결과를 도출한 것으로, 고전 결과를 덜 정규적인 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the local boundedness as well as the local Lipschitz continuity for solutions to a class of obstacle problems of the type $$\min\left\{\int_Ω{F(x, Dz)}: z\in \mathcal{K}_ψ(Ω) ight\}.$$ Here $\mathcal{K}_ψ(Ω)$ is set of admissible functions $z \in W^{1,p}(Ω)$ such that $z \ge ψ$ a.e. in $Ω$, $ψ$ being the obstacle and $Ω$ being an open bounded set of $\mathbb{R}^n$, $n \ge 2$. The main novelty here is that we are assuming $ F(x, Dz)$ satisfying $(p,q)$-growth conditions {and less restrictive assumptions on the obstacle with respect to the existing regularity results}.

연구 동기 및 목표

• 에너지 밀도에서 비표준 (p,q)-성장 조건을 가지는 장애물 문제의 해에 대해 국소 리프시츠 연속성을 확립하는 것.
• 이전 연구들과는 달리 장애물 ψ에 대한 가정을 완화하여, 더 정규성이 낮은 ψ를 允허하면서도 해의 정규성을 보장하는 것.
• x에 대해 소볼레프 클래스의 의존성을 가지며 (p,q)-성장 조건을 만족하는 비자기적 적분형 F(x,ξ)에 대해 정규성 이론을 확장하는 것.
• 특히 ψ가 국소적으로 유계일 경우에 대해, 장애물에 대한 더 약한 가정 하에 해의 국소 유계성을 확보하는 것.

제안 방법

• Sobolev 공간에서의 사전 추정을 기반으로 하며, (p,q)-성장 조건의 구조와 Fξξ의 타원성 조건을 활용한다.
• 핵심 기술적 도구는 적절한 테스트 함수를 W1,q0(Ω)에 취한 후, 절단 기법을 결합한 것이다.
• 증명은 극한에 대한 수축성과 블로업 기법을 활용하여 근사 수열에서의 극한을 통과한다. 이는 Du가 Lnp/(n−2)loc(Ω)에서 유계임을 이용한다.
• 저자들은 F(x,ξ) = f(x,|ξ|)의 구조를 이용하여 사전 추정을 유도하며, ξ에 대해 C2 정규성과 (F1)–(F3)에 의해 제어되는 성장 조건을 가정한다.
• 소볼레프 포함 정리와 조건 r > 1 / (1 + 1/n − q/p)를 활용하여 기울기의 적분 가능성을 제어하고 극한에서의 수렴을 보장한다.
• 변분부등식 (1.3)의 타당성은 근사화와 [26]의 정규성 결과를 활용하여 보장되며, 이는 최소화자가 오일러-라그랑즈 부등식을 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분형 F(x,ξ)와 장애물 ψ에 대해 어떤 조건이 장애물 문제의 해에 대한 국소 리프시츠 연속성을 보장하는가?
• RQ2 에너지 밀도가 (p,q)-성장을 보일 때, 해의 정규성은 장애물 ψ의 정규성에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비표준 (p,q)-성장과 약한 계수 정규성 하에서, 고전적 변분부등식 (1.3)이 최소화자에 대해 타당한가?
• RQ4 기울기의 적분 가능성과 사전 추정의 타당성에서 매개변수 r의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 기울기 의존성에서 계수 h(x)가 Lrloc(Ω)에 속하고 r > 1 / (1 + 1/n − q/p일 경우, (p,q)-성장 조건 하에서 장애물 문제의 해는 국소 리프시츠 연속성을 가진다.
• 장애물 ψ는 W2,χloc(Ω)에 속할 수 있으며, 이때 χ ≥ 2q − p로 이는 이전 연구에서 요구된 조건보다 엄밀히 더 약한 조건이다.
• 장애물 ψ가 국소적으로 유계일 경우에 대해, 비표준 성장 조건을 가진 다양한 변분부등식에 대해 해의 국소 유계성이 확립된다.
• 증명은 변분부등식의 항 II가 ε → 0일 때 0으로 수렴함을 보여주며, 이는 극한으로의 이행과 함께 변분부등식 (1.3)의 복원을 가능하게 한다.
• 조건 r > 1 / (1 + 1/n − q/p는 2q − p < r임을 보장하며, 이는 기울기의 적분 가능성과 근사 수열의 수렴성에 있어 필수적이다.
• 퇴화된 경우(p = q)에도 결과가 성립하며, 장애물과 계수에 대한 가정을 더 약하게 하여도 고전적 정규성 결과를 회복한다.