[논문 리뷰] Regularization of sliding global bifurcations derived from the local fold singularity of Filippov systems

Carles Bonet Revés, Tere M. Seara|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 21.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 특수한 섭동 이론과 점근적 방법을 사용하여 가시 접합점 특이점 근처의 필리포프 시스템에 대한 소토마요르-타이셰이라 정규화를 조사한다. 정규화된 시스템의 궤도가 슬라이딩 분기, 예를 들어 그레이징-슬라이딩 및 안장에 대한 슬라이딩 동형 궤도와 같은 국소적 분기 근처에서도 일반화된 해와 지수적으로 가까이 유지되며, 그 위상적 구조가 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we study the Sotomayor-Teixeira regularization of a general visible fold singularity of a Filippov system. Extending Geometric Fenichel Theory beyond the fold with asymptotic methods, we determine there the deviation of the orbits of the regularized system from the generalized solutions of the Filippov one. This result is applied to the regularization of some global sliding bifurcations as the Grazing-Sliding of periodic orbits or the Sliding Homoclinic to a Saddle, as well as to some classical problems in dry friction. Roughly speaking, we see that locally, and also globally, the regularization of the bifurcations preserve the topological features of the sliding ones.

연구 동기 및 목표

• 가시 접합점 특이점 근처에서 필리포프 시스템의 역학이 소토마요르-타이셰이라 정규화에 의해 어떻게 유지되는지 이해하는 것.
• 점근적 및 블로업 기법을 사용하여 접합 영역을 초월한 기하학적 페니켈 이론을 확장하는 것.
• 국소적 슬라이딩 분기, 예를 들어 그레이징-슬라이딩 및 안장에 대한 슬라이딩 동형 궤도가 존재할 경우 정규화된 시스템 궤도가 필리포프 일반화 해에서 벗어나는 정도를 규명하는 것.
• 건조 마찰의 고전 문제 및 그레이징-슬라이딩, 슬라이딩 동형 궤도와 같은 국소적 분기 문제에 결과를 적용하는 것.
• 접합점에서 정규화 과정으로 인한 법선 초월성 상실에도 불구하고 슬라이딩 분기의 위상적 특징이 유지됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 스위칭 만곡면 근처의 ε-근처에서 두 벡터장 대신 매개변수 ε를 가진 매끄러운 볼록 조합으로 정규화하는 소토마요르-타이셰이라 정규화 방법을 사용한다.
• 접촉점에서 벗어난 영역에서 법선으로 초월성 불변 다각형을 식별하기 위해 기하학적 페니켈 이론을 적용한다.
• 접합점 근처의 불변 다각형의 편차를 기술하기 위해 점근 전개와 리카티 방정식 분석을 활용한다.
• 접합점에서 초월성 상실 문제를 해결하기 위해 블로업 기법을 사용하여 느린 다각형의 행동을 분석할 수 있도록 한다.
• v = 1 근처의 임계 영역에서 변수 변화와 일치하는 점근 전개를 적용하여 포incare 지도의 행동을 유도한다.
• 불변 다각형 전개에서 수정항의 부호와 점근적 행동을 분석함으로써 정규화된 시스템의 역학을 필리포프 흐름과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소토마요르-타이셰이라 정규화는 필리포프 시스템의 가시 접합점 특이점 근처에서 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 정규화된 시스템 궤도가 접합점 근처에서 필리포프 일반화 해와 얼마나 가까이 유지되는가?
• RQ3 그레이징-슬라이딩 및 슬라이딩 동형 궤도와 같은 국소적 슬라이딩 분기의 위상적 구조가 정규화 과정에서 유지되는가?
• RQ4 리카티 방정식은 접합점 특이점 근처에서 불변 다각형의 편차를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 점근 전개와 블로업 방법은 접합점에서 페니켈 이론의 붕괴를 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• 정규화된 시스템의 법선으로 초월성 불변 다각형은 리카티 방정식에 의해 지배되는 방식으로 스위칭 만곡면에서 벗어나며, 이 편차는 ε에 대해 지수적으로 작다.
• 접합점 근처에서 정규화된 시스템 궤도는 확장된 불변 다각형의 지수적으로 작은 이웃 영역에 집중되어 있으며, 필리포프 역학이 유지된다.
• 정규화된 시스템의 포incare 지도는 필리포프 경우와 동일한 점근 공식을 만족하므로 위상적 동치성을 나타낸다.
• 페니켈 다각형은 v > 1 영역으로 진입하며 더 이상 그를 떠나지 못한다. 이는 수정항 n₁(v)의 양성과 느린 흐름의 구조 때문이며.
• 불변 다각형의 전개는 m(x;ε) < m₀(x) 이며, 동시에 m(x;ε) < m̄(x;ε) 를 만족하므로, 인접 궤도의 흡인성을 보장한다.
• 결과는 정규화가 국소적 분기 조건에서도 슬라이딩 분기의 위상적 특징, 특히 그레이징-슬라이딩 및 슬라이딩 동형 궤도를 유지함을 확인한다.