[논문 리뷰] Regularized solutions for some backward nonlinear partial differential equations with statistical data

Mokhtar Kirane, Erkan Nane외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 30.

Numerical methods in inverse problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 노이즈가 있는 데이터를 가진 다차원 영역에서 후행 비선형 포물형 편미분방정식에 대한 정규화 방법을 개발하며, 해가 불안정한 문제를 다루기 위해 안정적인 정규화된 해를 구성한다. 일정 계수와 시간에 의존하는 계수를 가진 방정식에 대해 수렴 속도를 확립하며, 열 방정식, 히셔 방정식, 히크시 방정식, 피츠휴-나구모 방정식, 스위프트-호헨버그 방정식을 포함하여 다양한 방정식에 적용한다. 또한 1차원 쿠라모토-시바시니 방정식, 수정된 스위프트-호헨버그 방정식, 강하게 둔감된 파동 방정식, 버거스 방정식 등에 대해 랜덤한 외란이 있는 경우로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the backward problem of determining initial condition for some class of nonlinear parabolic equations in multidimensional domain where data are given under random noise. This problem is ill-posed, i.e., the solution does not depend continuously on the data. To regularize the instable solution, we develop some new methods to construct some new regularized solution. We also investigate the convergence rate between the regularized solution and the solution of our equations. In particular, we establish results for several equations with constant coefficients and time dependent coefficients. The equations with constant coefficients include heat equation, extended Fisher-Kolmogorov equation, Swift-Hohenberg equation and many others. The equations with time dependent coefficients include Fisher type Logistic equations, Huxley equation, Fitzhugh-Nagumo equation. The methods developed in this paper can also be applied to get approximate solutions to several other equations including 1-D Kuramoto-Sivashinsky equation, 1-D modified Swift-Hohenberg equation, strongly damped wave equation and 1-D Burger's equation with randomly perturbed operator.

연구 동기 및 목표

• 최종 데이터에 노이즈가 있을 때 초기 조건을 복원해야 하는 후행 비선형 포물형 편미분방정식의 불안정성 문제를 다루기.
• 데이터 변동에 매우 민감한 해를 안정화시키기 위한 새로운 정규화 기법을 개발하기.
• 일정 계수와 시간에 의존하는 계수를 가진 방정식에 대해 정규화된 해와 진짜 해 사이의 수렴 속도를 확립하기.
• 1차원 쿠라모토-시바시니, 수정된 스위프트-호헨버그, 강하게 둔감된 파동, 버거스 방정식 등 넓은 범주에 걸친 방정식으로 제안된 방법을 확장하기.
• 통계적 데이터 불확실성 하에서 일정 계수와 시간에 따라 변하는 계수를 가진 비선형 PDE에 모두 적용 가능한 통합 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 랜덤 노이즈가 있는 다차원 영역에서의 후행 문제에 특화된 새로운 정규화 프레임워크를 도입하기.
• 데이터 변동으로 인한 불안정성을 제어함으로써 악조건의 역문제를 안정화시키는 기법을 사용해 정규화된 해를 구성하기.
• 열 방정식, 확장된 히셔-콜모고로프 방정식, 스위프트-호헨버그 방정식 등 일정 계수를 가진 방정식에 정규화를 적용하기.
• 피츠휴-나구모 방정식 등 피셔형 로지스틱, 히크시, 히크시 방정식과 같은 시간에 의존하는 계수를 가진 방정식으로 방법을 확장하기.
• 함수해석학적 및 통계적 도구를 활용해 정규화된 해와 정확한 해 사이의 수렴 속도를 유도하기.
• 1차원 쿠라모토-시바시니, 수정된 스위프트-호헨버그, 강하게 둔감된 파동, 1차원 버거스 방정식 등 추가적인 방정식에 대한 방법의 적용성을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 있는 다차원 데이터를 가진 후행 비선형 포물형 편미분방정식에 정규화를 효과적으로 적용할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 일정 계수를 가진 방정식에 대해 정규화된 해와 진짜 해 사이에 확립할 수 있는 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 제안된 정규화 방법은 피셔형 및 히크시 방정식과 같은 시간에 의존하는 계수를 가진 방정식으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 데이터에 랜덤 외란이 있을 경우 정규화된 해의 안정성과 정확도는 어떻게 되는가?
• RQ5 1차원 쿠라모토-시바시니 및 강하게 둔감된 파동 방정식을 포함한 다른 비선형 PDE로 이 방법을 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 정규화 방법은 다차원 영역에서 랜덤 노이즈가 있는 후행 비선형 포물형 편미분방정식의 해를 성공적으로 안정화시킨다.
• 일정 계수를 가진 방정식, 예를 들어 열 방정식 및 스위프트-호헨버그 방정식에 대해 정규화된 해와 진짜 해 사이의 수렴 속도가 확립된다.
• 피셔형 로지스틱 및 히크시 방정식과 같은 시간에 의존하는 계수를 가진 방정식으로 방법이 확장되며, 안정성과 수렴성이 입증된다.
• 프레임워크는 1차원 쿠라모토-시바시니, 수정된 스위프트-호헨버그, 강하게 둔감된 파동, 랜덤 외란이 있는 1차원 버거스 방정식 등 다양한 방정식에 적용 가능하다.
• 정규화 접근법은 데이터가 통계적 노이즈에 오염되어도 해가 안정적이고 수렴성을 유지함을 보장한다.
• 이론적 결과는 적절한 조건 하에서 정규화된 해가 진짜 해로 수렴함을 보여주며, 비선형 PDE의 역문제에 대해 강력한 방법을 제공한다.