[논문 리뷰] Regularized unbalanced optimal transport as entropy minimization with respect to branching Brownian motion

Aymeric Baradat, Hugo Lavenant|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 02.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 비균형 최적 운반(RUOT)과 분기 슈뢰딩거 문제 사이의 엄밀한 이중성 관계를 확립한다. 여기서 후자는 분기 브라운 운동(BBM)에 대한 엔트로피 최소화 문제로 공식화된다. 논문은 RUOT의 값이 분기 슈뢰딩거 문제의 값의 하방 점근적 폐쇄임을 증명하며, 두 문제의 해 사이에 정확한 대응 관계를 제공한다. 또한 소음이 작은 극한에서 부분 최적 운반으로 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

We consider the problem of minimizing the entropy of a law with respect to the law of a reference branching Brownian motion under density constraints at an initial and final time. We call this problem the branching Schrödinger problem by analogy with the Schrödinger problem, where the reference process is a Brownian motion. Whereas the Schrödinger problem is related to regularized (a.k.a. entropic) optimal transport, we investigate here the link of the branching Schrödinger problem with regularized unbalanced optimal transport. This link is shown at two levels. First, relying on duality arguments, the values of these two problems of calculus of variations are linked, in the sense that the value of the regularized unbalanced optimal transport (seen as a function of the initial and final measure) is the lower semi-continuous relaxation of the value of the branching Schrödinger problem. Second, we also explicit a correspondence between the competitors of these two problems, and to that end we provide a fine description of laws having a finite entropy with respect to a reference branching Brownian motion. We investigate the small noise limit, when the noise intensity of the branching Brownian motion goes to $0$: in this case we show, at the level of the optimal transport model, that there is convergence to partial optimal transport. We also provide formal arguments about why looking at the branching Brownian motion, and not at other measure-valued branching Markov processes, like superprocesses, yields the problem closest to optimal transport. Finally, we explain how this problem can be solved numerically: the dynamical formulation of regularized unbalanced optimal transport can be discretized and solved via convex optimization.

연구 동기 및 목표

• 정규화된 비균형 최적 운반(RUOT)과 분기 확산 과정을 갖는 고전적 슈뢰딩거 문제의 변종인 분기 슈뢰딩거 문제 사이의 이론적 연결 고리를 확립하기 위해.
• RUOT의 값 함수가 분기 슈뢰딩거 문제의 값 함수의 하방 점근적 폐쇄로 나타남을 보이기 위해.
• 분기 브라운 운동에 대해 유한한 상대 엔트로피를 갖는 확률 측도를 특성화하여, 두 문제의 해 사이에 정밀한 대응 관계를 가능하게 하기 위해.
• 분기 브라운 운동의 소음이 작은 극한을 분석하여, 역학적 공식화에서 부분 최적 운반으로 수렴함을 보여주기 위해.
• 이론적 결과를 바탕으로 이산화한 후 볼록 최적화를 통해 역학적 RUOT 문제를 수치적으로 해결할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 고정된 초기 및 최종 마진 조건 하에서, 분기 브라운 운동(BBM)의 법칙에 대한 엔트로피 최소화 문제로 분기 슈뢰딩거 문제를 공식화하기 위해.
• 이중성 추론을 사용하여 분기 슈뢰딩거 문제의 값과 RUOT 문제의 값을 연결하며, 후자가 전자의 하방 점근적 폐쇄임을 보여주기 위해.
• 유한한 엔트로피를 갖는 법칙을 분기 브라운 운동에 대해 특성화하기 위해 일반화된 이토 공식과 점프를 갖는 과정에 대한 확률 미적분을 도입하기 위해.
• 엔트로피 최소화 동역학을 모델링하기 위해 예측 가능하고 시공간에 의존하는 분기 및 확산 비율을 갖는 수정된 BBM을 구성하기 위해.
• 분기 브라운 운동에 대해 유한한 상대 엔트로피를 갖는 임의의 법칙은 반드시 특정한 예측 가능 강도를 갖는 분기 브라운 운동이어야 하며, 이는 두 문제의 경쟁자 사이에 일대일 대응 관계를 수립함을 보여주기 위해.
• 역학적 공식화된 RUOT을 이산화하고, 이중성 및 구조적 결과를 활용하여 볼록 최적화를 통해 수치적으로 해결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 비균형 최적 운반(RUOT)의 값은 분기 슈뢰딩거 문제의 값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 분기 브라운 운동에 대해 유한한 상대 엔트로피를 갖는 법칙은 어떻게 특성화할 수 있으며, 어떤 구조적 특성을 갖는가?
• RQ3 소음이 작은 극한에서 분기 슈뢰딩거 문제의 행동은 어떠한가, 그리고 최적 운반 모델과는 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 분기 슈뢰딩거 문제의 해와 RUOT 문제의 해 사이에 일대일 대응 관계가 존재하는가?
• RQ5 논문에서 개발된 이론적 프레임워크를 바탕으로 역학적 RUOT 문제를 어떻게 수치적으로 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 정규화된 비균형 최적 운반 문제의 값은 분기 슈뢰딩거 문제의 값의 하방 점근적 폐쇄이다.
• 분기 브라운 운동에 대해 유한한 상대 엔트로피를 갖는 임의의 확률 법칙은 반드시 특정한 예측 가능 강도를 갖는 분기 브라운 운동이어야 한다.
• 소음이 작은 극한에서 분기 슈뢰딩거 문제로부터 유도된 최적 운반 모델은 부분 최적 운반 문제로 수렴한다.
• 적절한 조건 하에서, 분기 슈뢰딩거 문제의 해와 RUOT 문제의 해 사이에 일대일 대응 관계가 존재한다.
• 역학적 공식화된 RUOT는 이산화되어 볼록 최적화를 통해 수치적으로 해결할 수 있으며, 이는 이중성 및 구조적 결과를 활용한다.
• 분기 브라운 운동은 비균형 최적 운반의 자연스러운 기준 과정이며, 측도 값을 갖는 분기 과정들 중에서 최적 운반에 가장 가까운 모델을 제공한다.