[논문 리뷰] Regularizing effect of absorption terms in singular and degenerate elliptic problems

Abdelaaziz Sbai, Youssef El Hadfi|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 08.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 흡수 항 $|u|^{s-1}u$와 특이성 있는 소스 항 $f/u^{\tau}$를 갖는 특이적이고 비가역적인 타원형 편미분방정식의 해가 존재하고 정규성 여부를 조사한다. 여기서 $\tau < 1$이다. 절단 기법과 근사 방법을 사용하여, 흡수 항이 특정 조건 하에서 $s$, $p$, $\theta$, $\gamma$에 따라 그라디언트 $\nabla u$의 적분 가능성과 합성 가능성의 향상에 정규화 효과를 유도함을 밝혀내었다. 이는 소볼레프 공간 내에서 엔트로피 해 또는 분포 해의 존재를 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper we study the existence and regularity of solutions to the following singular problem \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} &amp;-\displaystyle\mbox{div} \big(a(x,u)| abla u|^{p-2}| abla u|\big) + |u|^{s-1}u =\frac{f}{u^γ} &amp;\mbox{ in } Ω\\ &amp;u&gt;0 &amp;\mbox{ in }Ω\\ &amp;u=0 &amp;\mbox{ on } δΩ\end{array} ight. \end{equation} proving that the lower order term $u|u|^{s-1}$ has some regularizing effects on the solutions in the case of an elliptic operator with degenerate coercivity.

연구 동기 및 목표

• 특이적이고 비가역적인 타원형 편미분방정식의 해의 존재성과 정규성 분석: 비선형 흡수 항과 특이성 있는 소스 항을 포함한다.
• 비가역성의 강성 조건을 갖는 미분 연산자에서 하위항 $|u|^{s-1}u$가 해를 어떻게 정규화하는지 조사한다.
• 소볼레프 공간 $W_0^{1,p}(\Omega)$ 내에서 엔트로피 해 또는 분포 해의 존재를 위한 $s$, $p$, $\theta$, $\gamma$의 매개변수에 대한 충분한 조건을 수립한다.
• 연산자의 강성 부족과 소스 항의 특이성 문제를 근사 및 절단 기법을 통해 해결한다.

제안 방법

• 특이성 항 $f/u^\gamma$를 $u_n$ 이론이 유계인 비특이성 항 $f_n/u_n^\gamma$의 수열로 근사한다.
• 해의 성장 제어 및 컴actness 확보를 위해 절단 연산자 $T_k(u_n)$를 사용한다.
• 각 근사 수준 $n$에 대해 $W_0^{1,p}(\Omega)$ 내에서 유계 해 $u_n$의 존재성을 보이기 위해 샤페르의 고정점 정리를 적용한다.
• 횔더 부등식과 소볼레프 포함 부등식을 사용하여 $\nabla u_n$과 $u_n$에 대한 사전 추정치를 확립한다.
• 바이탈리의 정리와 패투의 정리를 사용하여 근사 수열에서 극한으로 이동하여 약한 공식을 만족하는 극한 함수 $u$를 확보한다.
• 엔트로피 해 정의의 프레임워크 내에서 수렴성과 특이성 및 비가역성 항의 제어를 검증함으로써 $u$가 엔트로피 해임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흡수 항 $|u|^{s-1}u$의 존재가 특이성 소스를 갖는 비가역 타원형 편미분방정식의 해의 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 $s$, $p$, $\theta$, $\gamma$에 대한 어떤 조건에서 흡수 항이 $\nabla u$의 향상된 합성 가능성 유도하는가?
• RQ3 연산자 $\text{div}(a(x,u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$의 강성 부족 문제는 절단 및 근사 기법으로 극복 가능한가?
• RQ4 해 $u$가 $M^{\frac{ps}{1+\theta+s-\gamma}}(\Omega)$에 속하는 데 최적의 $s$ 범위는 무엇인가? 이는 개선된 적분 가능성의 지표이다.
• RQ5 주어진 $f$, $a(x,u)$ 및 특이성 소스에 대한 가정 하에 해 $u$는 엔트로피 해 정의를 만족하는가?

주요 결과

• 흡수 항 $|u|^{s-1}u$는 $\nabla u$의 합성 가능성 향상에 정규화 효과를 유도하며, 이는 이 항이 존재하지 않을 경우에 비해 향상된 결과를 이끈다.
• $0 < s \leq \frac{1+\theta-\gamma}{p-1}$ 일 때, 그라디언트 $\nabla u$는 레이스터-마르킨키에비치 공간 $M^{\frac{ps}{1+\theta+s-\gamma}}(\Omega)$에 속하며, 이는 개선된 적분 가능성의 지표이다.
• $s \leq \frac{N(1-\gamma)+\gamma}{N-1}$ 일 때, 해 $u$는 분포 해이며, $r < \frac{N(p-1-\theta+\gamma)}{N-1-\theta+\gamma}$ 이면 $\nabla u_n$은 $L^r(\Omega)$ 내에서 유계이다.
• $s \geq \frac{N(p-\theta-1)+p\gamma}{N-p}$ 일 때, 해 $u$는 엔트로피 해이며, 정규화 효과가 특이성 및 비가역성의 구조를 지배한다.
• 근사 해 수열 $u_n$은 거의 모든 곳에서 $u$로 수렴하며, 모든 $k>0$에 대해 $T_k(u_n) \rightharpoonup T_k(u)$는 $W_0^{1,p}(\Omega)$ 내에서 약하게 수렴함으로써 해의 안정성이 보장된다.