[논문 리뷰] Reidemeister number of any automorphism of a Gromov hyperbolic group is infinite

Alexander Fel’shtyn|ArXiv.org|2001. 01. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 기하군론과 동역계를 이용하여 비원소적 고체 골모 비유클리드 군의 임의의 자기환원에 대해 Reidemeister 수가 무한하다는 것을 증명한다. 고정점 이론을 통해 위상적 대응을 확립하고, 편의적 공액류에 대한 Selberg의 추적 공식의 유사체를 제안하며, pseudo-Anosov 표면 자기환원에서 이러한 공액류의 점 渐진적 성장률을 보여준다.

ABSTRACT

We show that the number of twisted conjugacy classes is infinite for any automorphism of non-elementary, Gromov hyperbolic group . An analog of Selberg theory for twisted conjugacy classes is proposed.

연구 동기 및 목표

• 비원소적 고체 골모 비유클리드 군의 임의의 자기환원에 대해 Reidemeister 수가 무한하다는 것을 증명하는 것.
• 닫힌 다면체 위의 자기사상의 고정점 클래스를 통해 Reidemeister 수의 위상적 유사체를 확립하는 것.
• 비유클리드 군에서 편의적 공액류에 대한 Selberg 이론의 유사체를 제안하는 것.
• pseudo-Anosov 표면 자기환원에서 노름이 유한한 편의적 공액류의 수에 대한 점 渐진적 전개를 유도하는 것.

제안 방법

• 편의적 공액류를 군 내에서 반복적으로 연결하기 위해 매핑 토러스 구성을 사용하여, 군의 편의적 공액류를 반직선곱 군의 공액류와 연결한다.
• Delzant의 보조정리를 적용하여, 아벨 정규부분군에 모odulo된 고체 골모 비유클리드 군의 잔여류가 무한한 수의 공액류를 포함함을 보여준다.
• 음의 곡률을 가진 다양체의 기하학과 Selberg 추적 공식을 활용하여, 원시적 폐곡선의 점 渐진적 성장을 분석한다.
• pseudo-Anosov 사상의 매핑 토러스에서 편의적 공액류와 원시적 폐곡선 사이의 일대일 대응을 확립한다.
• 길이 ≤ x인 곡선의 수의 점 渐진적 전개를 사용하여, 편의적 공액류의 성장률을 도출한다.
• 매핑 토러스 내에서 관련된 원시적 폐곡선의 길이를 통해 편의적 공액류에 노름을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비원소적 고체 골모 비유클리드 군의 임의의 자기환원에 대해 Reidemeister 수가 무한한가?
• RQ2 비유클리드 군에서 편의적 공액류에 대해 Selberg 이론의 유사체를 개발할 수 있는가?
• RQ3 pseudo-Anosov 표면 자기환원에서 노름이 유한한 편의적 공액류의 수의 점 渐진적 성장률은 무엇인가?
• RQ4 기하학적 기본군이 비유클리드인 닫힌 다면체 위의 호메오모르피즘의 고정점 클래스 수는 무한한 Reidemeister 수를 갖는가?

주요 결과

• 비원소적 고체 골모 비유클리드 군의 임의의 자기환원에 대해 Reidemeister 수는 무한하다.
• pseudo-Anosov 표면 자기환원에서 노름이 최대 x인 편의적 공액류의 수는 점 渐진적으로 e^{2x}/x^{3/2}로 성장한다.
• 점 渐진 전개에는 초항 상수 C₀가 포함되며, 이는 hyperbolic 3-다양체 T_f의 부피에 따라 달라진다.
• 전개에서 계수 C_n은 n이 홀수일 경우 0이 되며, 이는 계수에 특정한 짝수성 구조가 있음을 시사한다.
• 노름이 유한한 고정점 클래스와 상향 클래스의 수 역시 편의적 공액류의 수와 동일한 점 渐진적 성장률을 갖는다.
• 이 결과는 pseudo-Anosov 자기환원 하에서 표면 군의 특수한 경우에 대해 Delzant의 보조정리를 분석적으로 증명한다.