[논문 리뷰] Reinforced Generation of Combinatorial Structures: Ramsey Numbers

Ansh Nagda, Prabhakar Raghavan외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 10.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 AlphaEvolve를 사용하여 LLM 기반 코드 변형 에이전트를 통해 여러 Ramsey 수의 하한을 개선하고, 작은 r,s 페어들에서 알려진 경계 중 다수를 회수하거나 일치시킵니다.

ABSTRACT

We present improved lower bounds for five classical Ramsey numbers: $\mathbf{R}(3, 13)$ is increased from $60$ to $61$, $\mathbf{R}(3, 18)$ from $99$ to $100$, $\mathbf{R}(4, 13)$ from $138$ to $139$, $\mathbf{R}(4, 14)$ from $147$ to $148$, and $\mathbf{R}(4, 15)$ from $158$ to $159$. These results were achieved using AlphaEvolve, an LLM-based code mutation agent. Beyond these new results, we successfully recovered lower bounds for all Ramsey numbers known to be exact, and matched the best known lower bounds across many other cases. These include bounds for which previous work does not detail the algorithms used. Virtually all known Ramsey lower bounds are derived computationally, with bespoke search algorithms each delivering a handful of results. AlphaEvolve is a single meta-algorithm yielding search algorithms for all of our results.

연구 동기 및 목표

• 고전 Ramsey 수 R(r,s)의 하한을 증가시키기 위해 r-클릭이나 s-독립집합이 없는 더 큰 그래프를 구성한다.
• 하나의 메타 알고리즘이 여러 (r,s) 대상에 대해 효과적인 탐색 절차를 생성할 수 있음을 시연한다.
• AlphaEvolve가 Ramsey 표 내의 많은 알려진 셀에 대해 최첨단 하한선을 회복하거나 그에 상응할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• r-클릭과 s-독립집합을 피하는 그래프를 생성하는 탐색 알고리즘의 집단을 유지한다.
• 선정된 부모로부터 새로운 탐색 프로그램을 변이시키고 제안하도록 LLM을 사용하고; 실행해 후보 그래프(G1, G2)를 생성한다.
• 그래프 크기(더 큰 유효 그래프에 보상)로 후보 프로그램을 점수화하고, G2가 기대를 얼마나 벗어나는지에 따른 페널티/보너스로 점수를 매겨 탐색을 유도한다.
• 랜덤, 대수적(Paley, cubic residues), 순환/순환 부트스트랩, 그리고 더 복잡한 하이브리드 같은 초기화 전략을 적용한다.
• 특정 (r,s) 셀에 대한 알고리즘을 자세히 설명하고 Table 2에서 초기화를 분류한다; Radziszowski(2024)의 이전 SoTA와 결과를 비교한다.
• 탐색 중에 clique/독립집합 평가를 관리하기 위해 계산 휴리스틱과 점진적/구조화된 검사를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선정된 (r,s) 쌍에 대해 AlphaEvolve가 이전 방법보다 더 큰 Ramsey 수 증거 그래프를 찾을 수 있는가?
• RQ2 알파에볼브가 알려진 작은 Ramsey 수들에서 최고 알려진 하한선을 어느 정도 회복하거나 일치시킬 수 있는가?
• RQ3 다른 초기화 전략이 Ramsey 하한 탐색의 품질과 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 진화된 탐색 알고리즘이 전달 가능한 통찰을 보이는가, 아니면 특정 (r,s) 대상에 매우 특화되어 있는가?
• RQ5 대수적 구조가 더 큰 유효 구성에 기여하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 새로운 하한 달성: R(3,13)=61, R(3,18)=100, R(4,13)=139, R(4,14)=148, 그리고 R(4,15)=159.
• AlphaEvolve가 Ramsey 표의 28개 알려진 셀에 대해 최첨단 하한선을 상회하거나 상응했다.
• 본 방법은 모든 정확히 알려진 경계를 회수했고 다른 많은 셀에서 최상이 알려진 하한선을 일치시켰다.
• 결과는 하나의 메타 알고리즘이 다양한 Ramsey 목표에 대해 효과적인 탐색 절차를 생성할 수 있음을 보여준다.
• 알고리즘은 종종 대수적 또는 순환 구조를 활용하고 여러 휴리스틱을 결합한다.
• 성공적인 탐색에서의 세 가지 메타 패턴은 대수적 구조의 활용, 휴리스틱의 연쇄화, 근사적 개수 산출 가속화이다.