[논문 리뷰] Related by Similarity II: Poncelet 3-Periodics in the Homothetic Pair and the Brocard Porism

Dan Reznik, Ronaldo Garcia|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 16.

Mathematics and Applications참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 동심 타원 쌍에 내접한 Poncelet 3-주기 삼각형 가족과 고정된 외접원과 Brocard 내접타원을 가진 Brocard porism 구성에서 두 가족을 연결하는 가변 유사 변환을 수립한다. 주요 기여는 두 가족 모두에서 Brocard 각 ω 가 일정함을 증명하고, 이로 인해 코탄젠트 합이 보존되며, 각을 유지하는 사상에 의해 상호 유사성을 입증한 것이다. 이는 공초점 보일러드에서 r/R 의 불변성에 관한 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Previously we showed the family of 3-periodics in the elliptic billiard (confocal pair) is the image under a variable similarity transform of poristic triangles (those with non-concentric, fixed incircle and circumcircle). Both families conserve the ratio of inradius to circumradius and therefore also the sum of cosines. This is consisten with the fact that a similarity preserves angles. Here we study two new Poncelet 3-periodic families also tied to each other via a variable similarity: (i) a first one interscribed in a pair of concentric, homothetic ellipses, and (ii) a second non-concentric one known as the Brocard porism: fixed circumcircle and Brocard inellipse. The Brocard points of this family are stationary at the foci of the inellipse. A key common invariant is the Brocard angle, and therefore the sum of cotangents. This raises an interesting question: given a non-concentric Poncelet family (limited or not to the outer conic being a circle), can a similar doppelgänger always be found interscribed in a concentric, axis-aligned ellipse and/or conic pair?

연구 동기 및 목표

• 두 가지 새로운 Poncelet 3-주기 삼각형 가족에서 기하학적 불변량을 조사한다: 하나는 동심 타원 쌍 내에 있고, 다른 하나는 고정된 외접원과 Brocard 내접타원을 가진 Brocard porism 구성이다.
• 고정된 외접원과 Brocard 내접타원을 가진 비동심 Poncelet 가족(예: 고정된 외접원과 Brocard 내접타원)이 동심 타원 쌍 내의 유사한 가족으로 표현될 수 있는지 여부를 규명한다.
• 이 두 가족 간의 기하학적 대응 관계를 가변 유사 변환을 통해 수립한다.
• 이 변환 하에서 주요 삼각형 양(예: Brocard 각, 코탄젠트 합, 삼각형 중심의 위치)의 불변성 분석.

제안 방법

• 동심 타원 쌍(외부 타원의 반축 (a,b), 내부 타원의 반축 (a/2,b/2))을 Brocard porism 가족과 연결하기 위해 애핀 및 유사 변환을 활용한다.
• 기호 계산과 삼각함수 항등식을 사용하여 동심 가족 내 면적과 변의 제곱합의 불변성을 증명한다.
• cot ω = Σsi² / (4A) 와 같은 알려진 관계를 적용하여 두 가족 모두에서 Brocard 각의 보존을 입증한다.
• 고정된 Brocard 점과 반사 및 원의 교차를 포함한 기하학적 구성 방법을 사용하여 Brocard porism 내 삼각형 정점의 매개변수 표현을 유도한다.
• 바이센트릭 및 트라이리니어 좌표를 사용하여 두 가족 모두에서 삼각형 중심(예: X₂, X₃₉)의 위치를 계산한다.
• 기호 대수와 수치적 검증을 통해 결과를 검증하였으며, Peter Moses의 고정된 Brocard 점 가족 구성 기여도 포함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 외접원과 Brocard 내접타원을 가진 비동심 Poncelet 가족이 가변 유사 변환을 통해 동심 타원 쌍 내의 유사 가족으로 연결될 수 있는가?
• RQ2 Brocard 각이 전체 Brocard porism 가족 내에서 일정한가? 만약 그렇다면, 이를 보장하는 기하학적 또는 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ3 동심 3-주기 삼각형 가족과 Brocard porism 가족을 연결하는 변환의 성격은 무엇이며, 이는 각과 주요 삼각형 불변량을 유지하는가?
• RQ4 X₂(중심) 및 X₃₉(Brocard 내접타원 중심)와 같은 삼각형 중심의 위치는 이 두 가족에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 모든 고정된 Brocard 점을 가진 삼각형에 대한 일반적인 구성 방법이 존재하는가? 그리고 이를 대수적 또는 기하학적으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 동심 타원 쌍 내의 3-주기 삼각형 가족은 면적과 변의 제곱합이 모두 보존되며, 면적 A = (3√3 ab)/2 이고 Σsi² = (9/2)(a² + b²) 이다.
• Brocard 각 ω 는 동심 가족과 Brocard porism 가족 양쪽 모두에서 일정하며, 동심 경우 cot ω = √3(a² + b²)/(2ab) 이다.
• Brocard porism 가족은 Brocard 내접타원의 초점에 고정된 Brocard 점을 가지며, Brocard 원 및 기타 명명된 원들은 고정된 중심과 반지름을 유지한다.
• 동심 가족과 Brocard porism 가족은 가변 유사 변환에 의해 연결되며, 각을 유지하므로 Brocard 각과 코탄젠트 합의 공통 보존을 설명한다.
• Brocard porism 내 X₂(중심)의 위치는 [0, -√(4a⁴ - 5a²b² + b⁴)/(3b)] 에 중심을 가진 원이며 반지름은 2(a² - b²)/(3b) 이다. 동심 가족 내 X₃₉(Brocard 내접타원 중심)의 위치는 반축 (a₃₉, b₩₉) = (c²/2)(a/(a² + 3b²), b/(3a² + b²)) 인 타원이다.
• Brocard 원, Gallatly 원, Moses 원 등 여러 명명된 원들은 Brocard porism 내에서 중심이 고정되고 반지름이 일정하며, 반지름은 R 과 ω 에만 의존하여 기하학적 안정성을 확인한다.