[논문 리뷰] Relation between non-exchangeability and measures of concordance of copulas

Damjana Kokol Bukovšek, Ko\v{s}ir, Toma\v{z}외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 14.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 38인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 고정된 최대 비대칭성 수준을 가진 점에서의 국소적 경계를 분석함으로써, 이元적 복합도(Copula)의 비교형(비대칭성)과 다섯 가지 주요 협조도 측정치—스피어만의 ρ, 켄달의 τ, 지니의 γ, 블롬키스트의 β, 스피어만의 발자국 규칙(Footrule)—사이의 관계를 조사한다. 주요 기여는 비대칭 수준에 대한 함수로서 각 협조도 측정치에 대해 분석적으로 유도된 날카로운 경계를 확립하는 것으로, 높은 비대칭성(최대 μ₈ = 1/3)은 대부분의 협조도 측정치를 음수 영역으로 몰아넣는다. 유일한 예외는 볼록 조합에 대해 이차적 의존성을 가지는 특성 덕분에 다른 방식으로 행동하는 켄달의 τ이다.

ABSTRACT

An investigation is presented of how a comprehensive choice of five most important measures of concordance (namely Spearman's rho, Kendall's tau, Gini's gamma, Blomqvist's beta, and their weaker counterpart Spearman's footrule) relate to non-exchangeability, i.e., asymmetry on copulas. Besides these results, the method proposed also seems to be new and may serve as a raw model for exploration of the relationship between a specific property of a copula and some of its measures of dependence structure, or perhaps the relationship between various measures of dependence structure themselves.

연구 동기 및 목표

• 비교형(비대칭성)과 복합도에서의 협조도 측정치 사이의 관계를 이해함. 이는 의존성 모델링 분야에서 중요하지만 아직 충분히 탐구되지 않은 관계임.
• 기존 문헌의 격차를 메우기 위해, 일반적인 집합이 아닌 특정 점에서 최대 비대칭성이 고정된 복합도의 세밀한 클래스에서 이 관계를 연구함.
• 스피어만의 ρ, 켄달의 τ, 지니의 γ, 블롬키스트의 β, 스피어만의 발자국 규칙을 포함한 다섯 가지 표준 협조도 측정치에 대해 비대칭 수준 μ₈에 대한 분석적으로 유도된 날카로운 경계를 제공함.
• 복합도의 구조적 성질(비대칭성)과 그 의존성 측정치 사이의 관계를 연구하기 위한 새로운 방법론적 프레임워크를 개발함. 이는 다른 의존성 개념에도 적용 가능함.
• 고도의 비대칭성이 일반적으로 협조도를 음수로 이끈다는 놀라운 결과를 명확히 하며, 켄달의 τ는 그 수학적 구조의 특성으로 인해 유일하게 예외임을 설명함.

제안 방법

• 점 (a,b) ∈ [0,1]² 에서의 최대 비대칭 함수 d*ₐ,ᵦ 를 정의함. 이는 모든 복합도 C 에 대해 |C(a,b) - C(b,a)| 의 Supremum 으로 정의됨.
• c ∈ [0, d*ₐ,ᵦ] 를 고정하고, |C(a,b) - C(b,a)| = c 를 만족하는 복합도의 집합을 정의함. 이 집합은 점 (a,b) 에서 고정된 비대칭성을 가짐.
• 프레체트-후프딩 경계 W 와 M 을 사용하여 이 집합에 대한 명시적 국소 하한 및 상한을 구성함. 그리고 두 복합도 C^(a,b)_c 와 그 전치형을 정의함. 이들은 점별 순서에서 극단적임.
• 점별 순서를 이용하여 고정된 비대칭 수준 c 를 가진 복합도 집합에서 각 협조도 측정치의 최소 및 최대값을 유도함.
• 각 협조도 측정치(ρ, τ, 발자국 규칙, γ, β)를 별도로 분석함. 이는 주어진 비대칭 수준 m = μ₈(C) 에 대해 달성 가능한 최소 및 최대값을 주는 조각 함수 형태로 유도됨.
• 극단값이 매개변수 삼각형 Δₘ 의 특정 정점에서 도달됨을 증명함. 또한 최소화 및 최대화 점이 직선 b = m + 1/2 에 대해 대칭임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 수준 μ₈ = m 이 고정된 모든 복합도에서, 주어진 협조도 측정치(예: 스피어만의 ρ, 켄달의 τ)의 가능한 값의 범위는 무엇인가요?
• RQ2 복합도 매개변수 (a,b) 의 선택이 고정된 비대칭 조건 하에서 협조도 측정치의 극단값에 어떻게 영향을 미치나요?
• RQ3 왜 켄달의 τ 는 높은 비대칭 조건에서 다른 협조도 측정치들과 다르게 행동하는가, 나머지 측정치들은 일관되게 음수 값을 낳는가?
• RQ4 비대칭 수준 μ₈ 와 다섯 가지 표준 협조도 측정치 사이의 정확한 함수적 관계는 무엇인가요?
• RQ5 각 협조도 측정치의 경계는 날카로운가? 만약 그렇다면, 어느 복합도에서 도달되는가?

주요 결과

• 모든 복합도에서 비대칭 수준 μ₈(C) = m 이면, 스피어만의 ρ 는 m ≤ 1/4 일 때 g(m) = 4m² – 1 과 h(m) = 1 – 8m² (m ≤ 1/6) 사이에서 변동하며, 특정 복합도에서 경계가 도달됨.
• 켄달의 τ 는 m ≤ 1/4 일 때 g(m) = 4m² – 1 과 m ≤ 1/6 일 때 h(m) = 1 – 8m² 사이에서 변동하며, 최대 및 최소값은 스피어만의 ρ 와 동일한 복합도에서 도달됨.
• 지니의 γ 는 m ≤ 1/4 일 때 g(m) = 4m² – 1 과 m ≥ 1/4 일 때 h(m) = 2 – 6m – 3m² 사이에서 변동하며, 최대값은 복합도 C^(m,2m)_m 에서, 최소값은 C^(m,1–m)_m 에서 도달됨.
• 블롬키스트의 β 는 m ≤ 1/4 일 때 g(m) = –1 과 m ≤ 1/6 일 때 h(m) = 1 사이에서 변동하며, 최대값은 C^(m,2m)_m 에서, 최소값은 C^(m,1–m)_m 에서 도달됨.
• μ₈(C) = 1/3 (최대 비대칭성) 일 때, 켄달의 τ 를 제외한 모든 측정치는 음수 값을 가짐: 스피어만의 ρ ∈ [–1, –1/3], 지니의 γ ∈ [–4/9, –1/3], 블롬키스트의 β ∈ [–1, –1/3], 스피어만의 발자국 규칙 ∈ [–1, –1/3].
• 켄달의 τ 는 유일하게 고도의 비대칭성 조건 하에서도 양수를 유지함. μ₈(C) = 1/3 일 때 τ(C) ∈ [–1/3, 1/3] 이며, 최대값은 C^(m,2m)_m 에서, 최소값은 C^(m,1–m)_m 에서 도달됨.