[논문 리뷰] Relation between two-phase quantum walks and the topological invariant

Takako Endo, Norio Konno외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 13.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 40인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 일차원에서의 완전한 이단계 양자 산책(QW)과 위상적 불변량 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하며, QW의 국소화 및 구배 확산 행동이 캐리 반사 대칭으로부터 유도된 위상적 불변량에 의해 지배됨을 보여준다. 저자들은 정적 및 시간 평균 한계 측도를 정확히 유도하고, 약한 수렴 정리를 증명하며, 단일 결함을 가진 QW에서의 국소화가 완전한 이단계 QW의 대칭 보존적 섭동으로서 나타남을 보여, 위상적 보호와 국소화 역학을 통합한다.

ABSTRACT

We study a position-dependent discrete-time quantum walk (QW) in one dimension, whose time-evolution operator is built up from two coin operators which are distinguished by phase factors from $x\geq0$ and $x\leq-1$. We call the QW the {\it complete two-phase QW} to discern from the two-phase QW with one defect\cite{endosan,maman}. Because of its localization properties, the two-phase QWs can be considered as an ideal mathematical model of topological insulators which are novel quantum states of matter characterized by topological invariants. Employing the complete two-phase QW, we present the stationary measure, and two kinds of limit theorems concerning {\it localization} and the {\it ballistic spreading}, which are the characteristic behaviors in the long-time limit of discrete-time QWs in one dimension. As a consequence, we obtain the mathematical expression of the whole picture of the asymptotic behavior of the walker, including dependences on initial states, in the long-time limit. We also clarify relevant symmetries, which are essential for topological insulators, of the complete two-phase QW, and then derive the topological invariant. Having established both mathematical rigorous results and the topological invariant of the complete two-phase QW, we provide solid arguments to understand localization of QWs in term of topological invariant. Furthermore, by applying a concept of {\it topological protections}, we clarify that localization of the two-phase QW with one defect, studied in the previous work\cite{endosan}, can be related to localization of the complete two-phase QW under symmetry preserving perturbations.

연구 동기 및 목표

• 일차원 시스템에서 이단계 양자 산책과 위상적 불변량을 연결하는 수학적 프레임워크를 수립하는 것.
• 완전한 이단계 QW에 대한 정적 및 시간 평균 한계 측도를 정확히 유도하여 초기 상태에 대한 의존성을 명시적으로 보여주는 것.
• 단일 결함을 가진 QW에서의 국소화 기원을 대칭 보존적 섭동 하에서 완전한 이단계 QW와 연결함으로써 명확히 하는 것.
• 위상 불변량을 계산하고 점 渐진 행동과 비교하여 QW 모델에서의 봉우리-모서리 대응을 검증하는 것.
• 물리적 직관과 수학적 엄밀성을 통합하여 위상적 보호를 통한 국소화 이해를 통합하는 것.

제안 방법

• 위치에 따라 변화하는 코인 연산자를 가진 이산 시간 양자 산책을 구성: $x \geq 0$ 에서는 하나의 코인 연산자, $x \leq -1$ 에서는 다른 코인 연산자로, 각각 단위 상수 $\sigma_+$ 와 $\sigma_-$ 를 포함한다.
• 생성 함수 기법과 경로 수세기 방법을 사용하여 시간 평균 한계 측도와 정적 측도를 유도하며, 초기 코인 상태에 명시적으로 의존하도록 한다.
• CGMV 방법과 스펙트럼 분석을 적용하여 시간 진화 연산자의 고유값 문제를 해결하고 국소화된 고유상태를 식별한다.
• 특히 $\sigma_+ - \sigma_- = n\pi$ 일 때 시간 진화 연산자에 캐리 대칭이 존재함을 확인하여 카르탕 분류 AIII에 속하게 하고, 위상 불변량 계산이 가능하도록 한다.
• 위상 불변량을 $\lambda = \pm i$ 에서의 고유값 흐름의 윤곽수로 계산하여 봉우리-모서리 대응과 일치함을 확인한다.
• 단일 결함 QW를 완전한 이단계 QW의 대칭 보존적 섭동로 간주하여, 국소화된 상태가 완전한 시스템의 보호된 모서리 모드에서 기인함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 이단계 양자 산책의 위상 불변량은 그 국소화 및 구배 확산 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 완전한 이단계 QW에서 정적 및 시간 평균 한계 측도의 정확한 형태는 무엇이며, 초기 코인 상태에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 단일 결함을 가진 이단계 QW에서 관측된 국소화는 위상 대칭을 유지하는 조건 하에서 완전한 이단계 QW의 섭동으로 이해할 수 있는가?
• RQ4 이 양자 산책 모델에서 봉우리-모서리 대응은 어느 정도 성립하며, 위상 불변량의 정확한 계산을 통해 어떻게 검증되는가?
• RQ5 캐리 대칭과 같은 대칭은 비균일한 양자 산책에서 국소화된 모서리 상태의 발생에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 완전한 이단계 QW는 초기 코인 상태에 명시적으로 의존하는 정확한 정적 및 시간 평균 한계 측도를 보이며, 이는 국소화를 정밀하게 제어할 수 있음을 의미한다.
• 시간 평균 측도가 $x=0$ 에서 0이 되도록 초기 코인 상태를 선택할 경우 원점에서의 국소화가 억제되며, 이는 두 영역이 서로 다른 위상 불변량을 가질 때에도 성립한다.
• 위상 불변량은 $\lambda = \pm i$ 에서의 고유값 흐름의 윤곽수로 계산되며, $\sigma_+ - \sigma_- = n\pi$ 일 때 비영이 되어 시스템이 AIII 클래스에 속함을 확인한다.
• 약한 수렴 정리는 재스케일된 위치 공간에서의 구배 확산을 확인하며, 한계 측도는 국소화를 나타내는 딜라 치함수 부분과 구배 운동을 나타내는 절대 연속 부분으로 구성된다.
• 단일 결함 QW의 국소화된 상태는 원점에서 대칭 보존 섭동에 의해 기인하며, 결함 코인 연산자가 $\theta_x = 0$ 에서 섭동 코인 $U_p$ 와 일치함을 보여준다.
• 완전한 이단계 QW의 정적 측도의 감쇠율이 $\sigma = \pm \pi/2$ 일 때 단일 결함 QW와 일치함을 확인하여, 두 모델 모두에서 국소화의 위상 기원을 뒷받침한다.