[논문 리뷰] Relation matroid and its relationship with generalized rough set based on relation

Yanfang Liu, William Zhu|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 24.

Rough Sets and Fuzzy Logic참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이진 관계 기반 일반화된 날개집합 이론에서 이웃 구조로부터 유도된 선조 및 후손 관계 매트로이드를 제안하며, 관계와 매트로이드 사이의 双방향 연결을 수립한다. 관계가 그의 순환을 생성하는 매트로이드를 유도함을 증명하고, 관계가 동치 관계일 경우 날개집합 이론의 상위 근사화 연산자와 매트로이드의 폐쇄 연산자가 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

Recently, the relationship between matroids and generalized rough sets based on relations has been studied from the viewpoint of linear independence of matrices. In this paper, we reveal more relationships by the predecessor and successor neighborhoods from relations. First, through these two neighborhoods, we propose a pair of matroids, namely predecessor relation matroid and successor relation matroid, respectively. Basic characteristics of this pair of matroids, such as dependent sets, circuits, the rank function and the closure operator, are described by the predecessor and successor neighborhoods from relations. Second, we induce a relation from a matroid through the circuits of the matroid. We prove that the induced relation is always an equivalence relation. With these two inductions, a relation induces a relation matroid, and the relation matroid induces an equivalence relation, then the connection between the original relation and the induced equivalence relation is studied. Moreover, the relationships between the upper approximation operator in generalized rough sets and the closure operator in matroids are investigated.

연구 동기 및 목표

• 이진 관계 기반 일반화된 날개집합 이론과 매트로이드 이론 간의 공식적 연결 고리를 이웃 구조를 통해 수립하기 위해.
• 이진 관계로부터 유도된 선조 및 후손 이웃 구조를 기반으로 선조 및 후손 관계 매트로이드를 정의하고 분석하기 위해.
• 매트로이드가 그의 순환을 통해 동치 관계를 유도할 수 있는지, 그리고 이와 원래 관계와의 관계를 조사하기 위해.
• 일반화된 날개집합 이론의 상위 근사화 연산자와 매트로이드의 폐쇄 연산자 간의 비교를 통해, 이들이 동일해지는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 이진 관계 R이 정의된 전체집합 U에서, 관계의 도달 가능성 구조를 이용해 선조 및 후손 이웃를 정의한다.
• 이웃 기반으로 두 매트로이드—선조 및 후손 관계 매트로이드—를 구성하며, 후손 매트로이드를 주요 초점으로 삼는다.
• 표준 매트로이드 개념인 종속 집합, 순환, 랭크 함수, 폐쇄 연산자를 사용하여 매트로이드를 특성화하며, 이 모든 요소들을 관계의 이웃 구조로 표현한다.
• 매트로이드로부터 관계를 유도하기 위해, {x,y}가 순환이거나 x=y이면 xR(M)y로 정의한다. 이때 유도된 관계가 항상 동치 관계임을 증명한다.
• 매트로이드의 폐쇄 연산자와 유도된 관계의 상위 근사화 연산자를 비교하여, 원래 관계가 동치 관계일 경우 이들이 동일함을 보여준다.
• 이중 방향 유도를 수립한다: 관계는 매트로이드를 유도하고, 매트로이드는 동치 관계를 유도한다. 이때 원래 관계가 동치 관계일 때에만 유도된 동치 관계가 원래 관계와 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이진 관계에서 유도된 선조 및 후손 이웃를 사용하여 매트로이드를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이진 관계에 의해 유도된 관계 매트로이드의 주요 매트로이드 이론적 성질(예: 순환, 폐쇄)은 무엇인가?
• RQ3 매트로이드가 관계를 유도할 수 있는가? 만약 가능하면, 이러한 구성에서 유도된 관계의 유형은 무엇인가?
• RQ4 매트로이드의 폐쇄 연산자와 유도된 관계의 상위 근사화 연산자가 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 원래 이진 관계와 관계 매트로이드에 의해 유도된 동치 관계 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 이진 관계 R에 의해 유도된 후손 관계 매트로이드는 R의 후손 이웃 구조를 통해 완전히 특성화될 수 있다.
• 매트로이드의 폐쇄 연산자와 R 기반 일반화된 날개집합 이론의 상위 근사화 연산자가 동일한데, 그 조건은 R이 동치 관계일 때에만 성립한다.
• 매트로이드는 순환을 통해 관계 R(M)을 유도하며, 이 유도된 관계는 항상 동치 관계이다.
• 관계 매트로이드 M(R)에 의해 유도된 동치 관계가 원래 관계 R과 동일한데, 그 조건은 원래 관계 R이 동치 관계일 때에만 성립한다.
• 유도된 동치 관계 R(M(R))는 명시적으로 {(x,y) ∈ U×U : RS_R(x) = RS_R(y)}로 표현될 수 있다.
• 매트로이드에서 단일 집합 {x}의 폐쇄는 유도된 동치 관계에서 {x}의 상위 근사화에 더하여, 모든 순환을 이루는 단일 집합들을 포함한다.