[논문 리뷰] Relation-theoretic contraction principle in metric-like as well as partial metric spaces

Md Ahmadullah, Abdur Rauf Khan외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 15.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 이항 관계를 사용하여 메트릭 유사 공간과 편집 메트릭 공간에서 바나흐 수축 원리의 일반화를 제시하며, 관계 이론적 수축 조건 하에서 새로운 고정점 정리들을 수립한다. 주요 기여는 관계 완비성과 연속성 개념을 통합함으로써 기존 문헌을 일반화하는 더 날카로운 고정점 결과를 도출한 것이다. 응용으로는 적분형 수축과 미약한 조건 하에서 고정점의 유일성을 보여주는 구체적인 예제가 포함되어 있다.

ABSTRACT

In this paper, we extend the Banach contraction principle to metric-like as well as partial metric spaces (not essentially complete) equipped with an arbitrary binary relation. Thereafter, we derive some fixed point results which are sharper versions of the corresponding known results of the existing literature. Finally, we use an example to demonstrate our main result.

연구 동기 및 목표

• 메트릭 유사 공간과 편집 메트릭 공간에서 완비성이 보장되지 않는 경우에도 바나흐 수축 원리를 일반화하는 것.
• 임의의 이항 관계를 수축 프레임워크에 통합하여 관계 이론적 고정점 결과를 가능하게 하는 것.
• 관계 완비성과 연속성 개념을 사용하여 기존 문헌보다 더 날카로운 고정점 정리를 수립하는 것.
• 레베그 적분 가능 함수를 사용하여 메트릭 유사 공간에서 적분형 수축 조건으로 결과를 확장하는 것.
• 제안된 조건 하에서 고정점의 적용 가능성과 유일성을 보여주는 구체적인 예제를 제공하는 것.

제안 방법

• 메트릭 유사 공간의 부분집합에서 $\sigma$-자기 닫힘 이항 관계의 개념을 도입하여 $\sigma$-유지 수열의 수렴을 보장한다.
• $\sigma$-완비성과 $\sigma$-자기 닫힘 관계를 정의하여, 관계 제약 조건 하에서 메트릭 유사 공간의 완비성 개념을 일반화한다.
• 관계 이론적 수축 조건을 적용: $(x,y) \in \mathcal{R}$ 이면 $\sigma(fx,fy) \leq k\sigma(x,y)$, 여기서 $k \in [0,1)$.
• 적분형 수축 조건을 도입: $\rho \in \Omega$ 이면 $\int_0^{\sigma(fx,fy)} \rho(t)dt \leq k \int_0^{\sigma(x,y)} \rho(t)dt$, 여기서 $\Omega$ 는 임의의 양의 간격에서 정적분이 양수인 레베그 적분 가능 함수의 집합이다.
• $f$-닫힘성의 개념을 도입하여 관계 $\mathcal{R}$ 가 사상 $f$ 에서 유지됨을 보장한다.
• $\mathcal{R}$-유지 코시 수열을 사용한 수열 구성 방법을 활용하고, 관계 완비성과 연속성 조건 하에서 수렴이 일어나는 유일한 고정점이 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비성이 보장되지 않는 메트릭 유사 공간에서 바나흐 수축 원리를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 임의의 이항 관계를 어떻게 활용하여 메트릭 유사 공간과 편집 메트릭 공간의 고정점 조건을 정밀화할 수 있는가?
• RQ3 어떤 관계 완비성과 연속성 조건이 수축 사상 하에서 고정점의 존재성과 유일성을 보장하는가?
• RQ4 결과를 메트릭 유사 공간에서 적분형 수축 조건으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 기존 문헌의 고정점 정리보다 더 날카로운 결과를 도출하는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathcal{R}$-완비성과 $f$-닫힘성 조건 하에서, $k \in [0,1)$ 이면 $\sigma(fx,fy) \leq k\sigma(x,y)$ 를 만족하는 사상 $f$ 가 $Y \subseteq X$ 에서 고정점을 가짐을 증명한다.
• 모든 $x,y \in X$ 에 대해 $\Upsilon(fx,fy,\mathcal{R}^s)$ 가 비어 있지 않으면 고정점은 유일하다. 이는 관계 비교 가능성 보장한다.
• 구체적인 예제를 통해 $X = \{a,b,c\}$ 에서 정의된 사상 $f$ 가 $\sigma(fa,fc) = 1$ 이고 $\sigma(a,c) = 2$ 를 만족하며, $k \in [\frac{1}{2},1)$ 일 때 수축 조건을 만족함을 보여주며, 고정점은 $b$ 에서 존재한다.
• 적분형 수축 조건 $\int_0^{\sigma(fx,fy)} \rho(t)dt \leq k\int_0^{\sigma(x,y)} \rho(t)dt$ 는 동일한 관계 및 완비성 조건 하에서 유일한 고정점을 도출한다.
• 이 결과는 Aydi와 Karapinar(2012)의 보조정리 3.6을 일반화하며, 메트릭 유사 공간에서 더 날카로운 형태의 결과를 제공한다.
• 이 프레임워크는 메트릭 유사 공간과 편집 메트릭 공간 모두에 적용 가능하며, 메트릭 유사 공간의 범주는 편집 메트릭 공간의 범주보다 엄밀히 더 넓다.