[논문 리뷰] Relation-theoretic metrical fixed point theorems under nonlinear contractions

Ahmadullah, Mohammad Imdad외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 13.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 이항 관계를 지닌 메트릭 공간에서 비선형 수축에 대한 새로운 고정점 정리들을 수립하며, Samet과 Turinici(2012) 및 Alam과 Imdad(2015)의 결과들을 일반화하고 통합한다. f-폐쇄성, R-완비성, d-자기폐쇄성 등의 관계 이론 조건을 도입함으로써, 완비성 또는 대칭성의 요구 조건을 더 약하게 만들었으며, 비완비 및 비대칭 설정에서도 적용 가능한 결과를 제시한다.

ABSTRACT

We establish fixed point theorems for nonlinear contractions on a metric space (not essentially complete) endowed with an arbitrary binary relation. Our results extend, generalize, modify and unify several known results especially those contained in Samet and Turinici [Commun. Math. Anal. 13, 82-97 (2012)] and Alam and Imdad [J. Fixed Point Theory Appl. 17(4), 693-702 (2015)]. Interestingly a corollary to one of our main results proved under symmetric closure of any binary relation remains a sharpened version of a theorem due to Samet and Turinici. Finally, we use examples to highlight the realized improvements in the results proved in this paper.

연구 동기 및 목표

• 임의의 이항 관계를 통합함으로써 비선형 수축에 대한 기존 고정점 정리들을 메트릭 공간에서 확장하고 통합하는 것.
• 메트릭 공간의 완비성과 관계의 대칭성을 요구하는 조건을 완화하여 더 넓은 설정에 적용 가능하게 하는 것.
• f-폐쇄성 및 d-자기폐쇄성과 같은 관계 이론 조건을 도입함으로써 Samet과 Turinici(2012) 및 Alam과 Imdad(2015)의 결과들을 일반화하는 것.
• 이전 결과들이 완비성 또는 대칭성 부족으로 실패하는 경우에도 적용 가능한 예시를 통해 신규 정리의 유용성을 입증하는 것.
• 대칭 폐쇄를 통한 조건을 통해 Samet과 Turinici의 정리에 대한 정밀화된 판본을 제시함으로써 적용 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• f-폐쇄성 이항 관계의 개념을 도입하고 활용함: (x,y) ∈ R 이면 (fx,fy) ∈ R 이다.
• R-완비성은 X 내의 모든 R-유지 코시 수열이 수렴함을 의미하며, 전체 메트릭 완비성의 필요성을 약화시킨다.
• 관계 R의 d-자기폐쇄성은, R-유지 수렴 수열에 대해 부분수열이 [x_{n_k}, x] ∈ R 를 만족함을 보장한다.
• Samet과 Turinici(2012)의 조건을 일반화하기 위해 대칭 폐쇄 S = R ∪ R⁻¹ 를 사용한다. 특히 정규성 및 지향성 조건에 대해.
• 비선형 제어 함수 φ ∈ Φ (증가성, 부분선형성) 를 수축 조건에 적용: d(fx,fy) ≤ φ( (d(x,fy) + d(y,fx))/2 ).
• 공통 상한이 존재하도록 보장하기 위해 R-지향 집합의 개념을 도입한다. 이는 고정점 존재성을 뒷받对方한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 이항 관계를 사용함으로써 비완비 메트릭 공간을 초월한 비선형 수축에 대한 고정점 정리들을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이전 결과들(예: Samet과 Turinici, 2012)에서 요구하는 대칭성 및 완비성 조건을 어느 정도까지 완화시킬 수 있는가?
• RQ3 관계 R의 f-폐쇄성과 d-자기폐쇄성이 고정점의 존재성과 유일성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 Samet과 Turinici(2012) 및 Alam과 Imdad(2015)의 정리들이 비대칭 또는 비완비 설정에서 통합되거나 향상될 수 있는가?
• RQ5 관계 R의 대칭 폐쇄 S가 정규성 확보 및 고정점 정리 적용 가능성을 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 f-폐쇄성, R-완비성, d-자기폐쇄성 및 φ를 포함한 비선형 수축 조건을 만족하는 조건 하에서 고정점 정리(정리 2.1)를 증명하였으며, 이는 비완비 메트릭 공간에서도 유효하다.
• 관계 R의 대칭 폐쇄 S 하에서 정리 2.1의推론을 통해 Samet과 Turinici의(2012) 결과를 정밀화한 판본을 도출하였으며, 이는 이전 정리가 실패하는 경우에도 적용 가능하다.
• 예제 4.1은 결과들이 비완비 및 비대칭 관계에 대해서도 적용 가능함을 보여주며, 이는 이전 정리들(예: Samet과 Turinici의)이 성립하지 않는 경우에도 해당한다.
• 예제 4.2는 신규 결과(예: 정리 2.8의 추론)가 메트릭 공간이 완비가 아니어도 적용 가능함을 보여주며, Samet과 Turinici의 정리 1.17과는 달리 이에 해당한다.
• 예제 4.3은 신규 수축 조건(정리 2.1)이 Alam과 Imdad(2015)의 조건보다 엄밀히 더 일반적임을 확인한다. 즉, 그들의 조건을 만족하지 못함에도 불구하고 고정점이 존재함을 보여준다.
• fX가 R-지향적이며 R|fX 가 완비일 경우 고정점은 유일하며, 이는 예제 4.1에서 확인되었으며, 정리 2.5 및 2.7의 유일성 조건을 검증한다.