[논문 리뷰] Relational Semigroups and Object-Free Categories

James Cranch, Simon Doherty외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 31.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부분 연산을 삼항관계로 모델링함으로써 관계적 반군과 오브제트 없는 범주 간의 형식적 연결을 수립한다. 일관적인 부분 모노이드가 다수의 단위를 가질 때 오브제트 없는 범주와 대응됨을 보이며, 부분 대수에 대한 관계적 프레임워크를 도입하고, 클래스 간의 엄격한 분리(예: 부분 모노이드는 관계적 모노이드에 엄격히 포함됨)를 증명한다. 또한 영 원소를 추가함으로써 총괄화된 구조(예: 범주적 반군)를 도출하며, 이는 ℓr-범주의 총괄화로 나타난다.

ABSTRACT

This note relates axioms for partial semigroups and monoids with those for small object-free categories, either with multiple monoidal units or with source and target maps. We discuss the adjunction of a zero element to both kinds of category and provide examples that separate the algebras considered.

연구 동기 및 목표

• 부분 반군/모노이드와 오브제트 없는 범주 간의 관계를 관계적 대수적 프레임워크를 통해 명확히 하기.
• 오브제트 없는 범주가 다수의 단위를 가진 일관적인 부분 모노이드와 정확히 일치함을 보여주기.
• 부분 대수에 영 원소를 추가함으로써 발생하는 영향을 조사하고, 범주적 반군과 같은 총괄화된 구조를 도출하기.
• 구성적 예시를 통해 부분 대수의 다양한 클래스(예: 부분 모노이드, 관계적 모노이드, 일관된 모노이드) 간의 엄격한 분리를 확립하기.
• 유계 사상과 함자들을 사용하여 관계적 구조와 범주적 모델 간의 이중성 유사 관계를 수립하기.

제안 방법

• 부분 연산을 삼항관계 $ R \subseteq X \times X \times X $ 로 모델링하고, 기능성과 결합법칙을 관계적으로 정의한다.
• 일관성은 $ R^{v}_{xy} \land D^{y}_{z} \Rightarrow D^{v}_{z} $ 로 정의되며, 범주 합성에서 소스-타겟 매칭과의 호환성을 보장한다.
• 관계적 단위를 도입한다: $ e \in X $ 가 왼쪽/오른쪽 단위이면 $ R^{x}_{ex} \Rightarrow x = e $ 를 만족하며, 왼쪽 또는 오른쪽 단위 조건을 만족하면 단위로 간주한다.
• 관계적 구조 $ (X, R) $ 에 영 원소 $ 0 $ 을 추가하여 $ R $ 을 $ R_0 $ 으로 확장하고, $ (R_0)^0_{xy} $ 가 $ \neg D^x_y $ 를 만족할 때 참이 되도록 하여 합성이 총괄화되도록 한다.
• 오브제트 없는 범주 간의 함자를 모델링하기 위해 삼항관계 간의 유계 사상 $ (f, g, h) $ 를 사용한다.
• 멱집합 대수를 통해 총괄화를 구성한다: $ (\mathcal{P}X, \cdot, E) $, 여기서 $ \{x\} \cdot \{y\} = \{x \cdot y\} $ 이며, $ \eta: X \to \mathcal{P}X $ 는 임bedding으로 간주한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관계적 반군과 모노이드는 다수의 단위를 가진 오브제트 없는 범주와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 오브제트 없는 범주를 부분 모노이드와 일관성의 관점에서 정확히 어떻게 대수적으로 특징지을 수 있는가?
• RQ3 영 원소를 추가함으로써 관계적 및 부분 대수가 어떻게 변형되며, 어떤 총괄화된 구조가 도출되는가?
• RQ4 부분 대수의 다양한 클래스(예: 부분 모노이드 대비 관계적 모노이드) 간에 엄격한 분리를 확립할 수 있는가?
• RQ5 $ \ell $ 와 $ r $ 함수는 $ \ell r $-범주를 범주적 반군으로 총괄화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 부분 모노이드의 집합은 관계적 모노이드의 집합에 엄격히 포함되며, 이는 $ \Sigma^* $ 에서의 셔플 연산을 통해 입증된다. 이는 총괄적인 관계적 모노이드이지만, 유일한 합성 성질이 없어 부분 모노이드가 될 수 없다.
• 관계적 모노이드는 다수의 단위를 가질 수 있으며, 이는 두 원소 집합 $ \{e, e'\} $ 에서 $ R^e_{ee} $ 와 $ R^{e'}_{e'e'} $ 가 성립함으로써 입증된다. 이는 단위가 반드시 유일할 필요가 없음을 보여준다.
• 일관적인 관계적 모노이드의 집합은 관계적 모노이드의 집합에 엄격히 포함된다. 이는 $ R^e_{ee}, R^a_{ea}, R^a_{ae} $ 를 만족하는 구조에서 $ D^e_a $ 는 참이지만 $ D^a_a $ 는 거짓이므로 일관성 조건을 위반함으로써 입증된다.
• 오브제트 없는 범주는 부분 모노이드에 엄격히 포함된다. 이는 두 가지 반례로 입증된다: 일관성 조건을 위반하는 삼원소 부분 모노이드, 그리고 겹치는 정의역을 가진 부분 함수의 경우.
• 관계적 구조에 영 원소를 추가하면 단위가 약한 단위로 변환된다. 6.2 예제에 영 원소를 추가한 경우, $ e $ 와 $ e' $ 는 더 이상 단위 공리를 만족하지 않지만 여전히 약한 단위로 남아 있다.
• Schweizer와 Sklar가 정의한 범주적 반군은 영 원소를 가진 $ \ell r $-범주와 동치이며, 모든 $ \ell r $-범주는 영 원소 추가를 통해 범주적 반군에 임베딩될 수 있다.