[논문 리뷰] Relations between exponential tails, moments and moment generating functions for random variables and vectors

Yuriy Kozachenko, E. Ostrovsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 08.

Probability and Risk Models참고 문헌 23인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 실수 및 벡터값 랜덤 변수에 대해 지수 꼬리 감쇠, 모멘트(그랜드 르베그 공간 노름을 통한), 그리고 모멘트 생성 함수 간의 비점근적, 双방향적, 정확한 상수 인자까지의 관계를 수립한다. 청크-펜첼 변환과 볼록 해석을 활용하여 지수 꼬리 경계, 모멘트 성장률, MGF 행동이 상수 인자까지 상호 등가임을 증명하며, 고전 결과를 다변량 및 비점근적 설정으로 확장하고 정밀한 노름 추정을 제공한다.

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical pairwise bilateral exact up to multiplicative constants interrelations between exponential decreasing tail behavior, moments (Grand Lebesgue Spaces) norm and moment generating functions norm for random variables and vectors (r.v.).

연구 동기 및 목표

• 랜덤 변수 및 벡터에 대해 지수 꼬리 행동, 모멘트 성장(그랜드 르베그 공간 통한), 그리고 모멘트 생성 함수 노름 간 정밀한 비점근적 이중 상관관계를 수립하기.
• 기능적 노름과 볼록 쌍대성으로 하여 서브-가우시안 및 서브-지수 꼬리에 대한 고전 결과를 더 넓은 분포 클래스로 확장하기.
• 얀-펜첼 변환과 볼록 분석을 활용하여 꼬리 감쇠, 모멘트 성장, MGF 행동 간 정확한 등가성(상수 인자까지)을 도출하기.
• 기본 모멘트 생성 함수와 꼬리 행동에 대한 최소한의 가정 하에 다변량 랜덤 벡터에 대한 날카운 노름 추정을 도출하기.

제안 방법

• 모멘트 성장률을 특성화하기 위해 $||f||_{G(\rho)} = \sup_{p \in [1,b)} \frac{|f|_p}{\psi(p)}$ 로 정의된 그랜드 르베그 공간(GPS)을 사용한다.
• 모멘트 생성 함수와 꼬리 행동 간의 관계를 설정하기 위해 얀-펜첼 변환 $\phi^*(u) = \sup_\lambda (\lambda u - \phi(\lambda))$ 를 적용한다.
• 펜첼-모로의 정리($\phi^{**} = \phi$)와 얀의 부등식을 활용하여 모멘트와 꼬리 간 이중 추정을 유도한다.
• 이중성과 헤시안 행렬의 고유값 추정을 활용하여 다변량 모멘트 생성 함수에 대한 부분 적분과 라플라스 방법을 통해 모멘트 추정을 유도한다.
• 다변량 꼬리 추정을 공액 함수 $Z^*$에 대한 추정으로 변환하기 위해 변환 $Z(y) = \zeta(e^y)$ 를 사용한다.
• 석점 근사와 가우시안 유형 꼬리 추정을 적용하여 모멘트 성장과 상호로 지수 감쇠율을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비점근적 영역에서 지수 꼬리 감쇠, 모멘트 성장, 모멘트 생성 함수 행동 간 정확한(상수 인자까지) 관계를 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 다변량 랜덤 변수에 대해 그랜드 르베그 공간 노름과 꼬리 또는 MGF 노름 간의 정밀한 등가성은 무엇인가?
• RQ3 모멘트 성장률 $|\xi|_p \leq C \cdot |p| \cdot e^{-\nu(p)/p}$ 이 성립할 때, 해당하는 꼬리 경계 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2)))$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비대칭적이거나 비구형 분포를 가진 다변량 랜덤 벡터에 대해 MGF, 모멘트, 꼬리 행동 간의 등가성은 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤 벡터 $\vec{\xi}$ 에 대해, $\nu(p)$ 가 볼록성과 정규성 조건을 만족할 경우, 모멘트 성장 $|\xi|_p \leq C_3 \exp(Z^*(p)/p)$ 와 꼬리 경계 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2)))$ 가 상수 인자까지 등가임을 수립한다.
• 그랜드 르베그 공간 노름 $||\xi||_{G(\psi)}$ 가 $\psi(p) = |p| \cdot e^{-\nu(p)/p}$ 일 때 유한함은 $\vec{y} \geq C_2 \vec{e}$ 에 대해 꼬리가 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2)))$ 를 만족할 때이고, 그 역도 성립함을 증명한다.
• 다변량 랜덤 벡터에 대해, MGF 가 $|\lambda| \geq 1$ 에 대해 $\mathbb{E}\exp(\lambda \cdot \xi) \leq \exp(C_1 |\lambda|^m)$ 를 만족할 경우, $\min_j |x_j| \geq 1$ 에 대해 꼬리 감쇠가 $U_\xi(x) \leq \exp(-C_2 |x|^{m/(m-1)})$ 로 나타남을 보였다.
• 논문은 점근적 근사나 볼록 쌍대성과 석점 분석만을 사용하여 모멘트, 꼬리, MGF 행동 간의 등가성이 점근적 근사 없이도 성립함을 보였다.
• 헤시안 고유값 추정과 가우시안 근사 방법을 통해 유도된 다변량 라플라스 변환 적분에 대한 날카운 추정 $J(p) \leq C_7(d,Z)^p \exp(Z^*(p))$ 를 제시하였다.
• 이 결과들은 [39]–[41] 에서의 이전 연구보다 엄밀히 더 강력하며, 점근적 또는 모멘트 매칭 가정이 필요 없고 일반적인 다변량 랜덤 변수에 적용 가능하다.