[논문 리뷰] Relations between the convexity of a set and the differentiability of its support function

Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 04.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 집합의 지지함수의 미분 가능성과 그 집합의 볼록성 사이의 정확한 관계를 규명하며, 특히 유계가 아닌 집합에 대해 다룬다. 지지함수의 정의역 내부에서의 미분 가능성은 집합의 강한 볼록성을 함의하며, 이는 마이크로경제학의 기초 결과, 특히 샤페드의 보조정리와 생산이론에서의 비용함수의 미분 가능성에 대한 재검토와 수정을 포함한다.

ABSTRACT

It is known that, in finite dimensions, the support function of a compact convex set with non empty interior is differentiable excepting the origin if and only if the set is strictly convex. In this paper we realize a thorough study of the relations between the differentiability of the support function on the interior of its domain and the convexity of the set, mainly for unbounded sets. Then we revisit some results related to the differentiability of the cost function associated to a production function.

연구 동기 및 목표

• 지지함수의 미분 가능성과 그 기저 집합의 볼록성 사이의 관계를 명확히 하며, 특히 유계가 아닌 집합에 대해 다룬다.
• 볼록해석학과 지지함수를 이용하여 고전적인 마이크로경제학 결과, 특히 샤페드의 보조정리를 수정하고 재구성한다.
• 지지함수의 미분 가능성과 집합의 볼록성 사이의 필수 및 필요조건을 규명한다.
• 조건 (H)를 만족하는 집합 A에 관련된 함수 $ F_A $ 의 역할을 분석하며, 그 성질이 A의 기하학적 성질과 어떻게 연결되는지 탐구한다.
• 볼록대칭과 지지함수 이론을 활용하여 샤페드의 보조정리에 대한 새로운 엄밀한 증명을 제공한다.

제안 방법

• 집합의 볼록성과 미분 가능성의 분석 도구로 지지함수 $ \sigma_A(x^*) = \sup_{u \in A} \langle x^*, u \rangle $ 를 중심적으로 사용한다.
• 볼록해석 도구를 적용: 회귀뿔, 쌍대함수, 부분도함수, 그리고 회귀함수 $ f_\infty $.
• 조건 (H)를 만족하는 집합 A에 관련된 함수 $ F_A $ 를 도입하고, 그의 준볼록성과 A의 기하학적 성질과의 관계를 분석한다.
• 지지함수 $ \sigma_A $ 가 정의역의 내부에서 미분 가능할 경우, 집합 A가 강한 볼록성을 띤다는 등가성을 적용하며, 이는 유계가 아닌 집합에도 적용된다.
• 비용함수 $ g(x) = \inf \{ \langle x, a \rangle \mid a \in A \} $ 를 $ -\sigma_A(-x) $ 로 재해석하여 지지함수와 직접 연결한다.
• 지지함수 $ \sigma_A $ 와 쌍대함수 $ f^* $ 간의 이중성과 [16]의 결과를 활용하여, 미분 가능성과 볼록성에 관한 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 $ A \subset \mathbb{R}^p $ 에 대해 지지함수 $ \sigma_A $ 가 정의역의 내부에서 미분 가능해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 지지함수 $ \sigma_A $ 가 $ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $ 에서 미분 가능할 경우, $ A $ 가 볼록성이 되는가? 이는 $ A $ 가 유계가 아닐 경우에도 성립하는가?
• RQ3 생산이론에서의 전통적 가정들, 예를 들어 생산함수의 엄격 준볼록성 또는 볼록성은 관련 비용함수의 미분 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 조건 (H)를 만족하는 집합 $ A $ 와 관련된 함수 $ F_A $ 는 집합 $ A $ 의 볼록성 및 미분 가능성 성질을 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 샤페드의 보조정리에서 비용함수의 미분 가능성에 대한 고전적인 충분조건은 필수조건이기도 한가?

주요 결과

• 지지함수 $ \sigma_A $ 는 $ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $ 에서 미분 가능할 때이고, 그때에만 집합 $ A $ 가 강한 볼록성을 띤다. 이는 $ A $ 가 유계가 아닐 경우에도 성립한다.
• 지지함수 $ \sigma_A $ 가 $ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $ 에서 미분 가능할 경우, $ A $ 는 볼록성을 띤다. 이는 유계가 아닌 집합에도 적용된다.
• 조건 (H)를 만족하는 집합 $ A $ 와 관련된 함수 $ F_A $ 는 준볼록성이고 연속적이지만, 지지함수 $ \sigma_A $ 가 미분 가능하더라도 반드시 엄격 준볼록성이 아니며, 이는 성립하지 않을 수 있다.
• 예제 5는 생산함수 $ F_A $ 가 엄격 준볼록성이 아닐지라도 비용함수가 $ -\mathbb{R}_{++}^p $ 에서 미분 가능할 수 있음을 보여주며, 일부 고전적 결과와 모순된다.
• 논문은 [6, Thm. 2]와 [11, 등가정리]의 '만약' 부분을 수정하여, 비용함수의 미분 가능성은 생산함수의 엄격 준볼록성을 함의하지는 않음을 보여준다.
• 볼록대칭과 부분도함수 및 쌍대함수 프레임워크를 활용하여 샤페드의 보조정리에 대한 새로운 증명을 확립한다.