[논문 리뷰] Relative Bogomolov's inequality

Atsushi Moriwaki|arXiv (Cornell University)|1996. 12. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 특성 0의 체 위의 매끄러운 대수적 다양체 위의 벡터 복합체에 대해 상대 보고몰로프 부등식을 수립한다. 상대 차원이 1인 프로젝티브 사상 아래에서, 만약 특정 점에서의 섬유와 복합체의 제한이 반순수적일 경우, 특정 카르탕 클래스 조합이 약한 양의성을 띠게 되며, 이는 안정 곡선의 모듈리 공간 위의 약한 양의 Q-카르티에 분할의 완전한 특성화로 이어진다.

ABSTRACT

Let f : X --> Y be a projective morphism of smooth algebraic varieties over an algebraically closed field of characteristic zero with dim f = 1. Let E be a vector bundle of rank r on X. In this paper, we would like to show that if X_y is smooth and E_y is semistable for some point y of Y, then f_* (2r c_2(E) - (r-1) c_1(E)^2) is weakly positive at y. We apply this result to obtain the following description of the cone of weakly positive $\QQ$-Cartier divisors on the moduli space of stable curves. Let M_g (resp. M_g^0) be the moduli space of stable (resp. smooth) curves of genus g >= 2. Let h be the Hodge class and d_i's (i = 0,...,[g/2]) the boundary classes. A Q-Cartier divisor x h + y_0 d_0 + ... + y_[g/2] d_[g/2] is weakly positive over M_g^0 if and only if x >= 0, g x + (8g + 4) y_0>= 0, and i(g-i) x + (2g+1) y_i>= 0 for all 1 <= i <= [g/2].

연구 동기 및 목표

• 특성 0의 체 위의 매끄러운 다양체 위의 벡터 복합체에 대해 상대 보고몰로프 부등식을 수립하는 것.
• 상대 차원이 1인 프로젝티브 사상 아래에서 특정 카르탕 클래스 조합의 푸시포워드의 약한 양의성을 분석하는 것.
• 결과를 응용하여 안정 곡선의 모듈리 공간 위의 약한 양의 Q-카르티에 분할의 원뿔을 기술하는 것.

제안 방법

• 차원이 1인 매끄러운 대수적 다양체 사이의 프로젝티브 사상 f: X → Y 를 사용한다.
• 섬유 X_y 와 벡터 복합체 E 의 제한 E_y 에 반순수성 조건을 적용하여, y 에서 f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) 의 약한 양의성을 도출한다.
• 대수기하학에서 코herent 층의 약한 양의성 이론을 활용한다.
• 기하학적 조건을 모듈리 공간 M_g 위의 분할 클래스에 대한 수치적 조건으로 변환한다.
• M_g^0 의 분할 클래스 그룹에서 허지 클래스 h 와 경계 클래스 d_i 를 분석한다.
• 약한 양의성을 특성화하기 위한 h 와 d_i 의 계수를 포함하는 명시적 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대 차원이 1인 사상에 沿해 2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2 의 푸시포워드가 언제 약한 양의성이 되는가?
• RQ2 섬유와 복합체 제한의 반순수성이 특성 클래스의 양의성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 안정 곡선의 모듈리 공간 위의 약한 양의 Q-카르티에 분할의 완전한 수치적 특성은 무엇인가?
• RQ4 허지 클래스 h 와 경계 클래스 d_i 의 어떤 선형 조합이 M_g^0 에서 약한 양의성이 되는가?

주요 결과

• E_y 가 반순수적이고 X_y 가 매끄러울 경우, f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) 는 y 에서 약한 양의성을 띈다.
• Q-카르티에 분할 x h + y_0 d_0 + ... + y_{[g/2]} d_{[g/2]} 이 M_g^0 에서 약한 양의성이 되는 것은 x ≥ 0 인 것과 동치이다.
• 경계 분할 d_0 의 계수에 대해 g x + (8g + 4) y_0 ≥ 0 이 성립해야 한다.
• 각 i 에 대해 1 ≤ i ≤ [g/2] 이면, i(g−i)x + (2g+1)y_i ≥ 0 이 약한 양의성에 필수적이고 충분하다.
• M_g^0 위의 약한 양의 Q-카르티에 분할의 전체 원뿔은 이 세 가지만의 부등식 가족으로 완전히 기술된다.