[논문 리뷰] Relative Cohomology with Respect to a Lefschetz Pencil

Hossein Movasati|ArXiv.org|2001. 12. 19.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 프로젝티브 다양체 위의 레프셰츠 피복에 대한 미분형 연결과 브리스코른 모듈러스의 국소적 구성 방식을 전역적 설정으로 일반화한다. 기저를 블로잉업하고, 예외적 인수 위에서 극을 가진 미분형 형식을 통해 상대 코homology를 확장함으로써, $\mathbb{P}^1$ 위에 미분형 가우스-만인 연결을 구성한다. 이로써 무한대에서 극을 가진 전역적 미분형 절단들이 랭크 $\beta_n$인 $\mathbb{C}[t]$-모듈러스임을 증명한다. 이때 $\beta_n$은 정상 섹션의 베텨 수이다.

ABSTRACT

Let $M$ be a complex projective manifold of dimension $n+1$ and $f$ a meromorphic function on $M$ obtained by a generic pencil of hyperplane sections of $M$. The $n$-th cohomology vector bundle of $f_0=f|_{M-\RR}$, where $\RR$ is the set of indeterminacy points of $f$, is defined on the set of regular values of $f_0$ and we have the usual Gauss-Manin connection on it. Following Brieskorn's methods in [bri], we extend the $n$-th cohomology vector bundle of $f_0$ and the associated Gauss-Manin connection to $\pl$ by means of differential forms. The new connection turns out to be meromorphic on the critical values of $f_0$. We prove that the meromorphic global sections of the vector bundle with poles of arbitrary order at $\infty\in\pl$ is isomorphic to the Brieskorn module of $f$ in a natural way, and so the Brieskorn module in this case is a free $\Pf$-module of rank $β_n$, where $\Pf$ is the ring of polynomials in $t$ and $β_n$ is the dimension of $n$-th cohomology group of a regular fiber of $f_0$.

연구 동기 및 목표

• 복소수 프로젝티브 다양체 위의 레프셰츠 피복에 대한 상대 코hom로지 벡터 번들의 가우스-만인 연결을 전체 $\mathbb{P}^1$ 으로 확장한다.
• 미분형 미분형식을 사용하여, 미분형 연결과 브리스코른 모듈러스의 국소적 구성 방식을 전역적 기하적 설정으로 일반화한다.
• 무한대에서 극을 가진 확장된 코hom로지 번들의 전역적 미분형 절단들이 정상 섹션의 베텨 수 $\beta_n$과 같은 랭크를 가진 자유 $\mathbb{C}[t]$-모듈러스임을 증명한다.
• 확장된 코hom로지 층과 전역 브리스코른 모듈러스 사이에 자연스러운 동형사상을 수립함으로써, 특이점 이론에서 알려진 결과를 전역 프로젝티브 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 레프셰츠 피복의 기저 $\mathcal{R}$ 에서의 블로잉업 $\pi: V \to M$ 을 수행하여, 함수 $f$ 의 미분형 성질의 불확실성을 제거한다.
• 기저 $\pi^{-1}(\mathcal{R})$ 에서 임의의 차수의 극을 가진 미분형 $n$-형식을 사용하여, $\mathbb{P}^1$ 상의 세 개의 해석적 층 $\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime}\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$ 을 구성한다.
• 함수 $f_0$ 의 임계값에 지지되는 극 분포 $\tilde{C}$ 를 가진, 이 층들 위에 미분형 가우스-만인 연결 $\nabla$ 를 정의한다.
• 이 층들 $\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime}\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$ 이 $\mathbb{P}^1$ 상에서 랭크 $\beta_n$의 국소적으로 자유 층임을 증명한다.
• 이 층들의 $\mathbb{P}^1 - C$ 에 대한 제한과 원래의 상대 코hom로지 번들 및 가우스-만인 연결 사이에 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• 무한대 $\infty \in \mathbb{P}^1$ 에서 임의의 차수의 극을 가진 전역적 미분형 절단들의 $\mathbb{C}[t]$-모듈러스로 전역 브리스코른 모듈러스 $H^n$, $\,^{\prime}H^n$, $\,^{\prime\prime}H^n$ 을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브리스코른의 미분형 연결과 브리스코른 모듈러스의 국소적 구성 방식은 $\mathbb{P}^1$ 위의 레프셰츠 피복에 대해 전역적으로 확장 가능한가?
• RQ2 기저가 $\mathbb{P}^1$ 으로 콪팩티피케이션될 때, 확장된 상대 코hom로지 번들의 구조와 그 가우스-만인 연결의 성질은 어떠한가?
• RQ3 무한대에서 극을 가진 확장된 코호몰로지 번들의 전역적 미분형 절단들은 자유 $\mathbb{C}[t]$-모듈러스와 동형인가?
• RQ4 레프셰츠 피복의 맥락에서 전역 브리스코른 모듈러스와 확장된 코호몰로지 층 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ5 코호몰로지 번들과 연결의 확장은 가우스-만인의 구조를 전역적으로 유지하는가?

주요 결과

• 확장된 코호몰로지 층 $\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime}\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$ 은 랭크 $\beta_n$인 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$-모듈러스로서 국소적으로 자유이다.
• 이 층들 위의 미분형 가우스-만인 연결 $\nabla$ 는 $f_0$ 의 임계값에 정확히 극을 가지며, 극 분포 $\tilde{C}$ 를 가진다.
• $\mathbb{P}^1 - C$ 에 대한 확장된 층들의 제한과 원래의 상대 코호몰로지 번들 및 가우스-만인 연결 사이에 자연스러운 동형사상이 존재한다.
• 전역 브리스코른 모듈러스 $H^n$, $\,^{\prime}H^n$, $\,^{\prime\prime}H^n$ 은 각각의 확장된 층의 전역적 미분형 절단들 중 무한대에서 임의의 차수의 극을 가진 $\mathbb{C}[t]$-모듈러스와 동형이다.
• 전역 브리스코른 모듈러스 $H^n$, $\,^{\prime}H^n$, $\,^{\prime\prime}H^n$ 은 랭크 $\beta_n$인 자유 $\mathbb{C}[t]$-모듈러스이다.
• 이 결과는 C. 사바의 알려진 결과를 확인하고 일반화하며, 이 전역 설정에서 브리스코른 모듈러스가 $\mathbb{C}[t]$ 위에서 자유임을 보여준다.