[논문 리뷰] Relative cyclotomic spectra and topological cyclic homology via the norm

Vigleik Angeltveit, Andrew J. Blumberg외 4명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 등급 스펙트럼의 위상수학적 호흐시ลด어 호모로지(THH)에 대해 등변 조합 정렬 스펙트럼의 범주에서 Hill-Hopkins-Ravenel의 승법 노름을 사용하여 순환 스펙트럼의 구조를 구축한다. 이는 Bökstedt의 일관성 기계장치를 회피하는 방식으로 이루어지며, 그 결과 임의의 가환 스펙트럼 스펙트럼 A에 대한 상대적 위상수학적 순환 호모로지(TC)를 정의하고, A에 대한 상대적 TC와 구리 스펙트럼에 대한 TR 간의 스펙트럼 수열을 수립하며, TR과 TC에 대한 애드ам스 작용의 자연스러운 정의를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We describe a construction of the cyclotomic structure on topological Hochschild homology ($THH$) of a ring spectrum using the Hill-Hopkins-Ravenel multiplicative norm. Our analysis takes place entirely in the category of equivariant orthogonal spectra, avoiding use of the B\okstedt coherence machinery. As a consequence, we are able to define versions of topological cyclic homology ($TC$) relative to an arbitrary commutative ring spectrum $A$. We describe spectral sequences computing this relative theory $_ATR$ in terms of $TR$ over the sphere spectrum and vice versa. Furthermore, our construction permits a straightforward definition of the Adams operations on $TR$ and $TC$.

연구 동기 및 목표

• Bökstedt의 일관성 기계장치에 의존하지 않고 THH에 대한 순환 스펙트럼의 구조를 새롭게 구축하는 것.
• 임의의 가환 스펙트럼 스펙트럼 A에 대해 상대적 위상수학적 순환 호모로지(TC)를 정의하는 것.
• 상대적 TC(A)와 구리 스펙트럼에 대한 TR 간의 스펙트럼 수열을 수립하는 것.
• 노름 구축을 통해 TR과 TC에 대한 애드암스 작용의 자연스러운 정의를 제공하는 것.

제안 방법

• 등변 조합 정렬 스펙트럼의 범주에서 Hill-Hopkins-Ravenel의 승법 노름을 사용하여 순환 스펙트럼의 구조를 구축한다.
• Bökstedt의 일관성 기계장치가 필요 없도록 등변 조합 정렬 스펙트럼의 프레임워크 내에서만 작업한다.
• 이 등변 설정에서 순환 추적 사상의 피브어로 상대적 TC(A)를 정의한다.
• TR과 TC가 A에 대해, 그리고 구리 스펙트럼에 대해 각각 어떻게 관련되는지 묘사하는 스펙트럼 수열을 구축한다.
• 등변 구조와 노름 호환성에 의해, 노름을 적용하여 TR과 TC에 대한 애드암스 작용을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bökstedt의 일관성 기계장치에 의존하지 않고 THH에 대한 순환 스펙트럼의 구조를 어떻게 구축할 수 있는가?
• RQ2 임의의 가환 스펙트럼 스펙트럼 A에 대해 상대적 위상수학적 순환 호모로지(TC)를 의미 있게 정의할 수 있는가?
• RQ3 상대적 TC(A)와 구리 스펙트럼에 대한 TR 간의 스펙트럼 수열은 무엇인가?
• RQ4 이 프레임워크에서 TR과 TC에 대한 애드암스 작용을 어떻게 자연스럽게 정의할 수 있는가?

주요 결과

• Bökstedt의 일관성 기계장치를 피하고 등변 조합 정렬 스펙트럼에서 승법 노름을 사용하여 THH에 대한 순환 스펙트럼의 구조를 성공적으로 구축하였다.
• 임의의 가환 스펙트럼 스펙트럼 A에 대해 잘 정의된 상대적 위상수학적 순환 호모로지(TC)의 형태가 확립되었다.
• 상대적 TC(A)와 구리 스펙트럼에 대한 TR 간의 상호관계를 묘사하는 스펙트럼 수열이 구축되었다.
• 노름 구조를 통해 TR과 TC에 대한 애드암스 작용이 자연스럽게 정의되었으며, 등변 프레임워크에 의해 호환성이 보장되었다.