[논문 리뷰] Relative directed homotopy theory of partially ordered spaces

Thomas Kahl|ArXiv.org|2006. 01. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 부분순서공간(positively ordered spaces, pospaces)의 범주가 약한 동치가 dihomotopy 동치인 닫힌 모델 범주 구조를 지닌다는 것을 증명한다. 여기서 올림은 difibrations이며, 코올림은 dicofibrations이다. 또한 고정된 pospace 위에서의 상대적인 방향성 있는 호모토피 이론이 잘 행동함을 보이며, 고정된 pospace 위의 pospaces 범주는 올림 범주이자 코올림 범주이므로, 컴퓨터 과학에서 동시 시스템을 모델링하기 위한 강력한 호모토피 이론 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Algebraic topological methods have been used successfully in concurrency theory, the domain of theoretical computer science that deals with distributed computing. L. Fajstrup, E. Goubault, and M. Raussen have introduced partially ordered spaces (pospaces) as a model for concurrent systems. In this paper it is shown that the category of pospaces under a fixed pospace is both a fibration and a cofibration category in the sense of H. Baues. The homotopy notion in this fibration and cofibration category is relative directed homotopy. It is also shown that the category of pospaces is a closed model category such that the homotopy notion is directed homotopy.

연구 동기 및 목표

• 순서가 있는 공간(pospaces)을 사용하는 동시성 이론에서 호모토피 이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 고정된 기준 pospace 위에서 상대적인 방향성 있는 호모토피(dihomotopy)를 정의하고 체계화하기 위해.
• pospaces의 범주가 방향성 있는 호모토피를 호모토피 개념으로 삼는 닫힌 모델 범주임을 보여주기 위해.
• 모든 pospaces가 필브란트이자 코필브란트임을 증명하여 호모토피 이론적 행동이 잘 이루어지도록 보장하기 위해.
• 닫힌 모델 범주 관점에서의 dihomotopy가 표준적인 dihomotopy 개념과 일치함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 고정된 pospace 위의 pospaces 범주를 순서쌍 범주 구조를 사용하여 구성하여 상대 호모토피를 체계화한다.
• 시간 순서가 있는 시스템 전이를 모델링하기 위해 부분순서를 유지하는 dimaps(방향성 연속 사상)를 정의한다.
• 기준 pospace C를 변형 과정 전반에 걸쳐 고정하는 호모토피 H: (X,≤) × (I,Δ) → (Y,≤)를 통해 상대 dihomotopy를 도입한다.
• pospaces의 범주에 Quillen의 닫힌 모델 범주 공리계를 적용하여, 약한 동치를 dihomotopy 동치로 정의한다.
• 매핑 길 경로 분해와 부분순서공간 E ⊆ (X×Y Y^I) × I의 구성 방법을 사용하여 사상들을 순수한 dicofibration 다음에 difibration으로 분해한다.
• 기본을 고정하는 dimap H를 통해 변형 수축을 구성함으로써 포함사상 i: X → E 가 순수한 dicofibration임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 pospaces의 범주는 방향성 있는 호모토피를 반영하는 닫힌 모델 범주 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 고정된 기준 pospace 위에서의 상대적인 방향성 있는 호모토피(dihomotopy)는 잘 행동하는가?
• RQ3 pospaces에서의 표준적인 호모토피 이론적 구조(올림, 코올림, 약한 동치)는 동시성 이론에서의 방향성 개념과 일치하는가?
• RQ4 이 모델 구조에서 모든 pospaces는 필브란트이자 코필브란트인가?
• RQ5 닫힌 모델 범주 관점에서의 호모토피가 표준적인 dihomotopy 개념과 일치하는가?

주요 결과

• pospaces의 범주는 약한 동치가 dihomotopy 동치, 올림이 difibrations, 코올림이 dicofibrations인 닫힌 모델 범주이다.
• 모든 pospace는 필브란트이자 코필브란트이므로, 모든 대상이 호모토피 구성에서 잘 행동함을 보장한다.
• 닫힌 모델 범주 관점에서의 호모토피 관계는 dimaps 간의 표준적인 dihomotopy 개념과 정확히 일치한다.
• 경로가 초기 및 종료 상태를 고정하는 변형을 통해 동치가 되는 상대 dihomotopy 관계는 모델 구조에 정확히 포괄된다.
• 매핑 길 경로 분해 구성은 임의의 dimap를 순수한 dicofibration 다음에 difibration으로 분해하는 방식으로 작동하며, Quillen의 분해 공리계를 만족한다.
• pospace의 이미지를 구성된 경로공간 E에 포함시키는 포함사상은 순수한 dicofibration이며, 이는 모델 범주 공리계의 증명에 핵심적이다.