[논문 리뷰] (Relative) dynamical degrees of rational maps over an algebraic closed field

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 유리 함수의 동적 차수를 순수하게 대수적 방법으로 정의한다. 이를 위해 Chow의 이동 보조정리와 콘 차수 공식을 활용하여 코homology 위의 pullback의 차수 성장률을 사용한다. 주요 성질인 로그-볼록성과 상대 동적 차수에 대한 곱공식을 증명하며, 복소다양체 동역학의 결과를 임의의 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의代수기하학으로 확장한다. 특성 0이 아닌 경우, 특이점의 해소가 가능할 때 표면과 3차원 다양체에 응용이 가능하다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to define dynamical degrees for rational maps over an algebraic closed field of characteristic zero and prove some basic properties (such as log-concavity) and give some applications. We also define relative dynamical degrees and prove a "product formula" for dynamical degrees of semi-conjugate rational maps in the algebraic setting. The main tools are the Chow's moving lemma and a formula for the degree of the cone over a subvariety of $\mathbb{P}^N$. The proofs of these results are valid as long as resolution of singularities are available (or more generally if appropriate birational models of the maps under consideration are available). This observation is applied for the cases of surfaces and threefolds over a field of positive characteristic.

연구 동기 및 목표

• 대수적으로 닫힌 특성 0 체 위에서 유리 함수의 동적 차수를 대수기하학 도구를 사용하여 순수하게 대수적으로 정의한다.
• 로그-볼록성과 동적 차수의 비틀림 불변성과 같은 기본 성질을 증명한다.
• 상대 동적 차수로의 이론을 확장하고, 반공액 함수에 대한 곱공식을 수립한다.
• 특이점 해소가 가능할 경우, 표면과 3차원 다양체에 대해 특성 양수인 체 위로 결과를 일반화한다.
• 복소다양체 동역학을 모방하는 대신 임의의 대수적으로 닫힌 체 위에서 작동하는 동적 차수의 대수적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 반복되는 유리 함수에 의한 사이클의 엄격한 전이의 차수를 사용하여 동적 차수를 대수적으로 정의한다.
• 불확실성의 해소와 부분다양체의 교차 행동 제어를 위해 Chow의 이동 보조정리를 적용한다.
• 프로젝트브 공간에서 부분다양체의 콘의 차수를 계산하는 공식을 사용하여 차수 성장률을 추정한다.
• 적절한 교차를 보장하고 차수 성장률을 제어하기 위해 비틀림 모델과 붓을 구성한다.
• 특성 0을 초월하여 결과를 일반화하기 위해 특이점 해소 또는 적절한 비틀림 모델에 의존한다.
• 차수 추정과 스펙트럴 반경 추론을 통해 동적 차수를 정의하는 극한의 존재성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 복소해석적 도구 없이 순수하게 대수적 방법으로 유리 함수의 동적 차수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 로그-볼록성과 비틀림 불변성과 같은 기본 성질이 대수적 설정에서 성립하는가?
• RQ3 유사한 복소해석적 경우와 유사하게 상대 동적 차수에 대한 곱공식을 대수기하학에서 수립할 수 있는가?
• RQ4 특이점 해소가 가능할 경우, 이러한 결과는 어느 정도까지 특성 양수로 확장될 수 있는가?
• RQ5 특성 양수에서 표면과 3차원 다양체의 비틀림 함수에 대해 동적 차수는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• $p$-번째 동적 차수 $\lambda_p(f)$는 극한 $\lim_{n\to\infty} \left( \deg\left( (f^n)^*(H_X^p) \right) \right)^{1/n}$ 으로 정의되며, 이 극한은 모든 $0 \leq p \leq \dim(X)$ 에 대해 존재한다.
• 동적 차수는 비틀림 불변량이며, 비틀림 코어지션 하에서 보존된다.
• 동적 차수는 로그-볼록성을 만족한다: $1 \leq p \leq \dim(X)$ 에 대해 $\lambda_p(f)^2 \geq \lambda_{p-1}(f)\lambda_{p+1}(f)$.
• 실수 Néron-Severi 군 위의 임의의 노름에 대해 $\lambda_p(f) = \lim_{n\to\infty} \| (f^n)^*|_{N^p_{\mathbb{R}}(X)} \|^{1/n}$ 이다. 이는 차수 성장률과 선형 연산자 노름 사이의 연결고리이다.
• 특성 양수에서 표면의 경우 곱공식은 $\lambda_1(f) = \max\{\lambda_1(g), \lambda_1(f|\pi)\}$ 와 $\lambda_2(f) = \lambda_1(g)\lambda_1(f|\pi)$ 로 줄어들며, 3차원 다양체의 경우 유사한 결과가 성립한다.
• 특이점 해소가 가능할 경우 결과는 특성 양수로 확장되며, 표면과 3차원 다양체에 대해 적용 가능하다. 이는 이러한 체 위에서의 대수기하학적 동역학에의 응용을 가능하게 한다.