[논문 리뷰] Relative entropies and their use in quantum information theory

Felix Leditzky|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 16

한 줄 요약

이 박사학위논문은 양자정보이론에서의 α-샌드위치 리니 분산(α-SRD)과 그 응용을 조사하며, 양자 상대 엔트로피에 대한 새로운 경계와 등식 조건을 도출한다. 이 논문은 피드백이 없는 상태 재분배, 측정 압축 및 양자 측면 정보가 있는 양자 소스 코딩에 대해 이중차수 渐近적 성질과 강력한 역정리 정리들을 확립한다. 이는 리니 엔트로피에 기반한 민감도 기반 경계를 사용한다.

ABSTRACT

This dissertation investigates relative entropies, also called generalized divergences, and how they can be used to characterize information-theoretic tasks in quantum information theory. The main goal is to further refine characterizations of the optimal rates for quantum source coding, state redistribution, and measurement compression with quantum side information via second order asymptotic expansions and strong converse theorems. The dissertation consists of a mathematical and an information-theoretic part. In the mathematical part, we focus on the $α$-sandwiched Rényi divergence ($α$-SRD). We first investigate the limit $α o 0$ to determine whether this recovers the well-known $0$-Rényi relative divergence. We then prove various new results for entropic quantities derived from the $α$-SRD, including dimension bounds and useful bounds in terms of the fidelity between two quantum states. Furthermore, we derive a necessary and sufficient algebraic condition for equality in the data processing inequality (viz. monotonicity under quantum operations) for the $α$-SRD, and give applications to entropic bounds. In the information-theoretic part, we first derive the second order asymptotics of visible quantum source coding using a mixed source. For the achievability part, we develop universal quantum source codes achieving a given second order rate for a memoryless source. As a corollary of the main result, we obtain the second order asymptotics of quantum source coding using a single memoryless source. We then prove strong converse theorems for state redistribution (with or without feedback) and measurement compression with quantum side information. The key ingredients in proving these theorems are the aforementioned fidelity bounds on Rényi entropic quantities derived from the $α$-SRD.

연구 동기 및 목표

• 이중차수 渐近적 성질과 강력한 역정리 정리들을 사용하여 양자정보 작업에서 최적의 속도를 보다 정교하게 기술한다.
• α-샌드위치 리니 분산(α-SRD)과 그 α → 0 극한을 조사하며, 0-리니 상대 분산과의 관계를 평가한다.
• α-SRD에서 유도된 엔트로피 양에 대한 차원 경계와 민감도 기반 부등식을 도출한다.
• α-SRD에 대한 데이터 처리 부등식에서 등식이 성립하는 데 필요한 필수 및 충분한 대수적 조건을 확립한다.
• 이러한 엔트로피 경계를 적용하여 양자 통신 작업에서 이중차수 渐近적 성질과 강력한 역정리 정리들을 달성한다.

제안 방법

• α → 0 극한에서 α-샌드위치 리니 분산(α-SRD)을 분석하여, 0-리니 상대 분산과의 관계를 규명한다.
• α-SRD에서 유도된 리니 엔트로피 양에 대한 새로운 차원 경계와 민감도 기반 상한 경계를 도출한다.
• 연산자 볼록성과 트레이스 부등식을 사용하여, α-SRD에 대한 데이터 처리 부등식에서 등식이 성립하는 데 필요한 필수 및 충분한 대수적 조건을 설정한다.
• 리니 엔트로피에 기반한 민감도 경계를 적용하여, 상태 재분배 및 양자 측면 정보가 있는 측정 압축에 대한 강력한 역정리 정리를 증명한다.
• 기록되지 않은 소스에 대해 주어진 이중차수 속도를 달성하는 유니버설 양자 소스 코드를 개발한다.
• 이중차수 渐近적 전개를 사용하여, 양자 소스 코딩 및 관련 프로토콜에서 최적의 코딩 속도를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α → 0 일 때 α-샌드위치 리니 분산은 0-리니 상대 분산으로 수렴하는가?
• RQ2 α-SRD에서 유도된 리니 엔트로피 양에 대해 가장 날카로운 차원 및 민감도 기반 경계는 무엇인가?
• RQ3 α-SRD에 대한 데이터 처리 부등식에서 등식이 성립하는 데 필요한 필수 및 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ4 혼합 소스를 사용한 가시 양자 소스 코딩의 이중차수 渐近적 성질은 무엇인가?
• RQ5 상태 재분배 및 양자 측면 정보가 있는 측정 압축에 대해 강력한 역정리 정리가 성립하는가? 그 기초가 되는 엔트로피 조건은 무엇인가?

주요 결과

• α-샌드위치 리니 분산은 α → 0 일 때 0-리니 상대 분산으로 수렴하며, 기존의 고전적 극한과의 일致성을 확인한다.
• α-SRD에 기반한 리니 엔트로피에 대해 새로운 차원 경계와 민감도 기반 상한 경계가 도출되었으며, 엔트로피 추정의 정밀도를 향상시킨다.
• α-SRD에 대한 데이터 처리 부등식에서 등식이 성립하는 데 필요한 필수 및 충분한 대수적 조건이 확립되었으며, 이는 연산자 단조성과 트레이스 항등식을 포함한다.
• 혼합 소스를 사용한 가시 양자 소스 코딩에 대해 이중차수 渐近적 성질이 도출되었으며, 최적의 이중차수 속도를 달성하는 유니버설 코드가 개발되었다.
• 양자 측면 정보가 있는 상태 재분배(피드백 유무 관계없이) 및 측정 압축에 대해 강력한 역정리 정리가 증명되었으며, 이는 리니 엔트로피에 기반한 민감도 경계를 사용한다.
• 이 논문의 결과는 arXiv:1308.5961, arXiv:1403.2543, arXiv:1407.6616, arXiv:1506.02635, arXiv:1604.02119의 이전 연구를 통합하고 확장하여, 양자 비율-왜곡 및 통신 작업에 대한 종합적인 프레임워크를 제공한다.