[논문 리뷰] Relative entropy and the Pinsker product formula for sofic groups

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 45인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 상대적 소픽 엔트로피와 국소/이중 경험적 수렴을 사용하여 소픽 군의 외부 핀스커 인자에 대한 곱 공식을 수립한다. 이는 아메니블 군 이론의 결과를 일반화한 것으로, 소픽 군에서의 곱 작용에 대한 외부 핀스커 인자가 개별 외부 핀스커 인자의 곱임을 증명하며, 이는 특정 모듈의 폰트리아긴 쌍대군 위에서의 대수적 작용이 관련 연산자가 가역일 경우 완전히 양의 엔트로피를 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

We continue our study of the outer Pinsker factor for probability measure-preserving actions of sofic groups. Using the notion of doubly quenched convergence developed by Austin, we prove that in many cases the outer Pinsker factor of a product action is the product of the outer Pinsker factors. Our results are parallel to those of Seward for Rohklin entropy. We use these Pinsker products formulas to show that for many actions of a sofic group G on X where X is a compact group and the action is by automorphism, the (measurable) outer Pinsker factor of the action of G on X is given as a quotient by a G-invariant, closed, normal subgroup. We use our results to show that if G is sofic and f in M_{n}(Z(G)) is invertible as a convolution operator, then the action of G on the Pontryagin dual of \Z(G)^{\oplus n}/\Z(G)^{\oplus n}f has completely positive measure-theoretic entropy with respect to the Haar measure. This last application requires our previous work connecting topological entropy in the presence as defined by Li-Liang to measure-theoretic entropy in the presence (implicitly defined by Kerr) for actions on compact groups. In particular, we need our previous formulation of measure-theoretic entropy in the presence in terms of a given topological model.

연구 동기 및 목표

• 아메니블 군 이론에서의 핀스커 인자 곱 공식을 아메니블이 아닌 소픽 군으로 확장함으로써, 세워와 다른 이론가들의 결과를 일반화한다.
• 적절한 수렴 조건 하에서 소픽 군에서의 곱 작용에 대한 외부 핀스커 인자가 개별 외부 핀스커 인자의 곱임을 증명한다.
• 이 곱 공식을 컴팩트 군 위의 대수적 작용에 적용하여, 핀스커 인자가 닫힘, G-불변, 정규 부분군에 대한 몫으로 나타남을 보인다.
• 군의 링 위의 가역 콘볼루션 연산자가 그 폰트리아긴 쌍대군 위에서 측도론적 엔트로피가 완전히 양이 되는 작용을 유도함을 증명한다.

제안 방법

• Austin이 도입한 국소적 및 이중 경험적 수렴의 개념을 사용하여 소픽 군 작용에서의 엔트로피를 분석한다.
• 마이크로스테이트 근사 방법을 통해 관측치의 엔트로피와 조건부 엔트로피를 비교하기 위해 상대적 소픽 엔트로피 이론을 적용한다.
• 소픽 설정에서 아브라모프-로크힌 공식을 활용하여 상대 엔트로피와 핀스커 인자 구조를 연결한다.
• 특정 수렴 영역에서 소픽 엔트로피와 측도론적 엔트로피가 동치임을 이용하여 곱 공식을 유도한다.
• 메인 정리의 증명에서 마이크로스테이트 수를 제어하기 위해 스타링의 근사법과 엔트로피 경계를 사용한다.
• 대수적 작용과 모듈 구조 간의 이중성을 활용하여 엔트로피 문제를 연산자의 가역성으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소픽 군에서의 곱 작용에 대한 외부 핀스커 인자는 국소적 및 이중 경험적 수렴 조건 하에서 개별 외부 핀스커 인자의 곱으로 분해되는가?
• RQ2 콤팩트 군 위에서의 대수적 작용에 대한 외부 핀스커 인자는 닫힘, G-불변, 정규 부분군에 대한 몫으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 폰트리아긴 쌍대군 위의 대수적 작용이 측도론적 엔트로피가 완전히 양이 되는가?
• RQ4 소픽 설정에서 팩터 사상과 조건부 엔트로피 분해에 대해 상대적 소픽 엔트로피는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 국소적 및 이중 경험적 수렴 조건 하에서 소픽 군의 곱 작용에 대한 외부 핀스커 인자는 개별 작용의 외부 핀스커 인자의 곱과 동형이다.
• 소픽 군이 컴팩트 군 위에서 자동형으로 작용할 경우, 외부 핀스커 인자는 군의 닫힘, G-불변, 정규 부분군에 대한 몫으로 실현된다.
• $f \in M_n(\mathbb{Z}(G))$ 가 $\ell^2(G)^{\oplus n}$ 위에서 콘볼루션 연산자로서 가역일 경우, $\mathbb{Z}(G)^{\oplus n}/\mathbb{Z}(G)^{\oplus n}f$ 의 폰트리아긴 쌍대군 위에서의 작용은 측도론적 엔트로피가 완전히 양이 된다.
• 상대적 소픽 엔트로피는 아메니블 경우에 고전적 측도론적 엔트로피와 일치하며, 이 경우 곱 공식은 기존 결과를 복원한다.
• 조건부 상대 엔트로피 $h_{(\sigma_i),\mu}(\alpha|\beta:\gamma)$ 는 고전적 상대 엔트로피 $h_\mu(\alpha|S_\beta,G)$ 와 일치하며, 마이크로스테이트 엔트로피와 측도론적 엔트로피 사이의 다리를 놓는다.