[논문 리뷰] Relative family Gromov-Witten invariants and symplectomorphisms

Olguţa Buşe|ArXiv.org|2001. 10. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1파라미터 가중치를 가진 심플렉틱 형식을 지닌 다양체의 심플렉토모르피즘 군의 비자명한 호모토피 클래스를 탐지하기 위해 상대 가족 Gromov-Witten 불변량을 도입한다. $S^2 \times S^2 \times X$ 위의 거의 복소 구조를 분석하고, 변형된 코homology 클래스를 고려함으로써, 이전에 Abreu-McDuff에 의해 발견된 것과 같은 취약한 호모토피 원소들이 심플렉토모르피즘 군의 고차 호모토피 군에 지속됨을 증명한다. 이는 가산 수의 $k$ 및 $λ$에 대해 $π_k(G_λ^X)$에 새로운 무한한 가족의 비자명한 원소를 확립한다. 이 불변량들은 심플렉틱 변형 불변량이며, 거의 복소 구조 공간의 상대 호모토피 클래스를 탐지한다.

ABSTRACT

We study the symplectomorphism groups $G_λ=Symp_0(M,ω_λ)$ of an arbitrary closed manifold M equipped with a 1-parameter family of symplectic forms $ω_λ$ with variable cohomology class. We show that the existence of nontrivial elements in $π_*({\cal A},{\cal A}')$, where $({\cal A},{\cal A}')$ is a suitable pair of spaces of almost complex structures, implies the exiarxiv.org stence of families of nontrivial elements in $π_{*-i}G_λ$, for $i=1$ or 2. Suitable parametric Gromov Witten invariants detect nontrivial elements in $π_*({\cal A},{\cal A}')$. By looking at certain resolutions of quotient singularities we investigate the situation $(M,ω_λ)= (S^2 imes S^2 imes X,σ_F \oplus λσ_B \oplus ω_{st})$, with $(X,ω_{st})$ an arbitrary symplectic manifold. We find families of nontrivial elements in $π_k(G_λ^X)$, for countably many $k$ and different values of $λ$. In particular we show that the fragile elements $w_{\ell}$ found by Abreu-McDuff in $π_{4 \ell}(G_{\ell+1}^{pt})$ do not disappear when we consider them in $S^2 imes S^2 imes X$.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 형식의 코homology 클래스가 1파라미터 가중치 가중치에서 변화함에 따라 심플렉토모르피즘 군 $\mathrm{Symp}_0(M,\omega_\lambda)$의 위상수학적 성질이 어떻게 변화하는지 이해하는 것.
• 파라미터 Gromov-Witten 불변량을 사용하여 심플렉토모르피즘 군의 호모토피 군에 속한 비자명한 원소를 탐지하는 것.
• 이전에 $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$에서 발견된 취약한 호모토피 원소들이 $S^2 \times S^2 \times X$로 확장되었을 때 지속되는 지 보여주는 것.
• 섬세한 상대 호모토피 클래스가 거의 복소 구조 공간에 존재할 때, 그와 관련된 심플렉토모르피즘 군의 비자명한 호모토피 클래스를 연결하는 피브레이션 시퀀스를 통해 연결하는 것.

제안 방법

• 모든 $b \in B$에 대해 $J_b$-해석적 안정 사상의 수를 세는 상대 가족 Gromov-Witten 불변량 $PGW^{M,(J_B,J_{\partial B})}_{D,0,k}$를 정의한다. 이는 $J_b$가 $\partial B$ 상에서 이러한 사상을 피함으로써 잘 정의됨을 보장한다.
• 이 불변량을 사용하여 $\pi_*(\mathcal{A}_I, \mathcal{A}_{I,D}^c)$에서 $\mathbb{Q}$로 가는 호모모르피즘 $\Theta_{k,\alpha_1,\dots,\alpha_k}$를 구성한다. 이는 심플렉틱 변형 불변량이다.
• 심플렉토모르피즘 군의 호모토피와 거의 복소 구조의 호모토피를 연결하기 위해 $\mathrm{Symp}_0(M,\omega_\lambda) \to \mathrm{Diff}_0(M) \to \mathcal{A}_\omega$의 피브레이션을 사용한다.
• 몫 특이점 $\mathbb{C}^2/C_{2\ell}$의 해소를 분석하여, $\mathcal{A}_{[\ell+\epsilon,\ell]}$ 내에서 비자명한 불변량을 가진 명시적 가중치 $(J_{B_\ell}, \partial J_{B_\ell})$를 구성한다.
• 피브레이션의 호모토피 군의 장기 정렬 시퀀스를 적용하여 $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$의 비자명한 클래스를 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$의 비자명한 원소로 올리는 것.
• 지속되는 원소들이 $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$에서 유래한 비자명한, 비-기저 원소를 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$에 생성함을 증명하여, 이들이 이전에 $\mathrm{Diff}_0(M)$에서 유도된 것이 아니며 새로운 것으로서 기저가 아니라는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 복소 구조 공간의 비자명한 호모토피 클래스가 심플렉토모르피즘 군의 비자명한 원소를 탐지할 수 있는가?
• RQ2 상대 가족 Gromov-Witten 불변량은 심플렉틱 형식의 변형 동안 지속되는 호모토피 원소를 심플렉토모르피즘 군에서 탐지할 수 있는가?
• RQ3 Abreu-McDuff에 의해 $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$에서 발견된 취약한 호모토피 원소들이 $S^2 \times S^2 \times X$로 확장되었을 때 생존하는가?
• RQ4 이러한 불변량을 통해 구성된 $\pi_k(G_\lambda^X)$의 비자명한 원소들은 기존의 $\pi_k(G_\lambda)$에서 유래된 기저 원소인가, 아니면 새로운가?
• RQ5 심플렉토모르피즘 군의 위상수학적 성질은 $\mathcal{A}_{\omega_\lambda}$에서 상대 호모토피 클래스에 민감한 파라미터 불변량을 통해 탐지될 수 있는가?

주요 결과

• 상대 가족 Gromov-Witten 불변량 $PGW^{M,(J_B,J_{\partial B})}_{D,0,k}$는 심플렉틱 변형 불변량이며, 쌍 $(J_B, J_{\partial B})$의 상대 호모토피 클래스에만 의존한다.
• 모양이 $\omega_\lambda = \sigma_F \oplus \lambda \sigma_B \oplus \omega_{\mathrm{st}}$인 $M = S^2 \times S^2 \times X$에 대해, $\lambda \in [\ell, \ell+\epsilon]$ 및 $\ell \in \mathbb{N}$일 때 비자명한 불변량이 존재하며, 이는 $\pi_{4\ell-2}(G_\lambda^X)$에 비자명한 원소를 유도한다.
• Abreu-McDuff에 의해 $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$에서 발견된 취약한 원소 $w_\ell$는 $S^2 \times S^2 \times X$로 올리기 후에도 사라지지 않고, $\lambda > \ell$일 때 $\pi_{4\ell-2}(G_\lambda^X)$에서 비자명하게 유지된다.
• $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$의 비자명한 원소들은 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$에 비자명한 원소를 유도하며, 이들은 $\mathrm{Diff}_0(M)$에서 유도된 것이 아니며, $\lambda < \ell$일 때 $\pi_{k-1}(G_\lambda)$의 기저가 아니라는 것을 보여준다.
• $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$에서 지속되는 원소들—즉, $\pi_k(\mathcal{A}_\ell)$로 올라가지 않는 원소들—은 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$에 비자명하고 비-기저 원소를 생성하며, 이는 그들의 위상적 독창성을 확인한다.
• $\mathbb{C}^2/C_{2\ell}$의 해소를 통한 구성은 비자명한 불변량을 가진 명시적 거의 복소 구조 가중치를 제공하며, 이는 $k = 4\ell - 2$일 때 $\pi_k(G_\lambda^X)$에 가산 수의 비자명한 호모토피 클래스를 탐지할 수 있게 한다.