[논문 리뷰] Relative p-adic Hodge theory: Foundations

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 59인용 수 88

한 줄 요약

이 논문은 윌트 벡터 구조와 비아르키메데스 해석 기하학을 이용하여 상대적 p진 호지 이론의 기초 프레임워크를 수립한다. 이는 에탈 국소계를 상대적 로바 띠지의 φ-모듈과 통합한다. 주요 기여는 Q_p-벡터 공간 위의 연속 갈루아 표현과 완전한 벤락 대수 위의 에탈 φ-모듈 사이의 표준적 동치를 확립하는 것으로, 아디크 및 퍼펙토이드 공간을 통해 고전적 (φ,Γ)-모듈 이론을 상대적이고 기하학적 맥락으로 확장한다.

ABSTRACT

We describe a new approach to relative p-adic Hodge theory based on systematic use of Witt vector constructions and nonarchimedean analytic geometry in the style of both Berkovich and Huber. We give a thorough development of phi-modules over a relative Robba ring associated to a perfect Banach ring of characteristic p, including the relationship between these objects and etale Z_p-local systems and Q_p-local systems on the algebraic and analytic spaces associated to the base ring, and the relationship between etale cohomology and phi-cohomology. We also make a critical link to mixed characteristic by exhibiting an equivalence of tensor categories between the finite etale algebras over an arbitrary perfect Banach algebra over a nontrivially normed complete field of characteristic p and the finite etale algebras over a corresponding Banach Q_p-algebra. This recovers the homeomorphism between the absolute Galois groups of F_p((pi)) and Q_p(mu_{p^infty}) given by the field of norms construction of Fontaine and Wintenberger, as well as generalizations considered by Andreatta, Brinon, Faltings, Gabber, Ramero, Scholl, and most recently Scholze. Using Huber's formalism of adic spaces and Scholze's formalism of perfectoid spaces, we globalize the constructions to give several descriptions of the etale local systems on analytic spaces over p-adic fields. One of these descriptions uses a relative version of the Fargues-Fontaine curve.

연구 동기 및 목표

• 윌트 벡터와 비아르키메데스 해석 기하학을 이용하여 상대적 p진 호지 이론의 체계적 이론을 개발한다.
• 특성 p의 완전한 벤락 환 위에서 고전적 (φ,Γ)-모듈 이론을 상대적 맥락으로 일반화한다.
• 상대적 및 퍼펙토이드 맥락에서 에탈 국소계, φ-모듈, B-페어 간의 동치를 확립한다.
• 파르가스-퐁탱 곡선을 기반으로 한 기하학적 프레임워크를 통해 프로에탈 코homology와 φ-코homology를 통합한다.
• 퍼펙토이드 및 아디크 형식을 이용하여 F_p((π))와 Q_p(μ_p^∞)의 갈루아 군 간의 노름의 필드 동치를 회복하고 일반화한다.

제안 방법

• 혼합 특성과 동일 특성 맥락을 p진 호지 이론에서 연결하기 위해 윌트 벡터 구조를 활용한다.
• 후버의 아디크 공간과 쇼르체의 퍼펙토이드 공간을 이용하여 p진 필드 위의 해석 공간으로 국소 구조를 전역화한다.
• 에탈 Z_p-국소계와 Q_p-국소계를 모델링하기 위해 상대적 로바 띠지와 그 위의 φ-모듈을 개발한다.
• 기울기 이론과 가족의 순수성 필터를 이용해 상대 환 위의 φ-모듈을 분석한다.
• G_K-준동치 벡터 번들의 분류를 위해 상대적 파르가스-퐁탱 곡선을 구성한다.
• 아핀 벤락 환 위의 유한 프로젝티브 모듈에 대한 강하 및 붙임 기법을 활용하여 기하학적 일관성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 p의 완전한 벤락 환 위에서 (φ,Γ)-모듈은 어떻게 상대적 맥락으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 p진 해석 공간 위의 에탈 국소계와 상대적 로바 띠지 위의 φ-모듈 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 상대적 및 퍼펙토이드 맥락에서 프로에탈 코hom로지와 φ-코호몰로지 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 퍼펙토이드 및 아디크 기하학을 이용하여 Gal(Q_p(μ_p^∞))와 Gal(F_p((π))) 간의 노름의 필드 동치를 회복하고 일반화할 수 있는가?
• RQ5 상대적 파르가스-퐁탱 곡선은 G_K-준동치 벡터 번들의 분류에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 연속 갈루아 표현과 Q_p-벡터 공간 위의 에탈 φ-모듈 사이에 표준적 동치가 확립된다.
• 논문은 Gal(F_p((π)))와 Gal(Q_p(μ_p^∞)) 간의 노름의 필드 동치를 특별한 경우로 회복하며, 특성 p의 완전한 벤락 대수 위의 유한 에탈 대수와 그 혼합 특성 대응체 간의 일반적 동치의 특수한 경우로 간주한다.
• B_K^dagger 및 C_K를 포함한 다양한 주기 환 위의 에탈 (φ,Γ)-모듈이 갈루아 표현과 표준적으로 동치임을 보였다.
• G_K-준동치 벡터 번들을 분류하는 상대적 파르가스-퐁탱 곡선이 구성되었다.
• 프로에탈 코호몰로지가 φ-코호몰로지로 계산되며, 허르 및 제2저자의 고전적 결과가 확장된다.
• Spa(K, o_K) 위의 B-페어의 범주와 상대적 파르가스-퐁탱 곡선의 함수의 범주 간에 동치가 존재한다.