[논문 리뷰] Relative Robust Portfolio Optimization

Raphael Hauser, V. Krishnamurthy외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 01.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평균-분산 포트폴리오 선택에서의 불확실성을 다루기 위해, 절대 최악의 성능이 아니라 시나리오별 최적 포트폴리오 대비 최대 회복 손실을 최소화하는 방식으로 상대적 강건 포트폴리오 최적화 프레임워크를 제안한다. 다각형 및 타원형 불확실성 하에서 상대적 강건 문제에 대한 해석 가능한 콘형 최적화 기반 내부 및 외부 근사법을 제공하여 실용적 구현을 가능하게 하면서도 주요 자산 관리 시나리오에서 이론적 보장을 유지한다.

ABSTRACT

Considering mean-variance portfolio problems with uncertain model parameters, we contrast the classical absolute robust optimization approach with the relative robust approach based on a maximum regret function. Although the latter problems are NP-hard in general, we show that tractable inner and outer approximations exist in several cases that are of central interest in asset management.

연구 동기 및 목표

• 고전적 절대 강건 최적화의 한계를 해결하기 위해, 최악의 목표치에 초점을 맞추며 극단적 시나리오로 인해 결정이 과도하게 훼손되는 문제를 해결하고자 한다.
• 각 시나리오 하에서의 최적 해에 비해 성능을 평가하는 회복 손실 최소화 기반의 상대적 강건 최적화 프레임워크를 개발하여 실제 투자 성과 평가와 더 잘 부합시키고자 한다.
• 일般적으로 NP-난이도인 상대적 강건 포트폴리오 최적화 문제에 대해 계산적으로 해석 가능한 근사법을 제공하고자 한다.
• 이를 통해 이산 문제를 넘어서 연속 최적화 문제, 특히 자산 관리에 관련된 연속 이차 및 콘형 최적화 문제로 상대적 강건 최적화의 적용 범위를 확장하고자 한다.
• 특히 다각형 및 타원형 불확실성 집합 하에서 콘형 프로그래밍과 볼록 해석을 이용한 상대적 강건 공식화의 해석 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립하고자 한다.

제안 방법

• 상대적 강건 포트폴리오 최적화 문제를 최대 회복 손실을 최소화하는 min-max 문제로 공식화하며, 회복 손실은 각 시나리오 하에서 포트폴리오의 목표치와 해당 시나리오에서의 최적치의 차이로 정의된다.
• 이중성과 볼록 해석을 활용하여 콘형 최적화 기법을 적용해 삼중 레벨의 상대적 강건 문제를 단일 레벨의 결정론적 문제로 변환한다.
• S-레마와 일반화된 S-레마를 적용하여 상대적 강건 문제의 타당성에 대한 충분 조건을 유도하며, 특히 이차 및 제2차 콘 제약 조건에 대해 유용하다.
• 다각형 불확실성 집합과 타원형 불확실성 집합을 이용해 상대적 강건 해 집합의 내부 및 외부 근사를 유도하며, 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• Schur 보조정리와 행렬 분해 기법을 활용해 문제를 제2차 콘 프로그래밍(SOCP) 또는 정수형 프로그래밍(SDP)에 적합한 형태로 재구성한다.
• 원래 문제를 더 높은 차원의 공간에 통합하는 리프팅 기법을 도입하여 상대적 강건 조건이 볼록 콘에 속하는 것으로 표현되게 하여, 콘형 최적화를 통한 해석 가능한 해법을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적 포트폴리오 최적화 문제, 특히 미지수 파라미터가 있는 평균-분산 모델에 대해 상대적 강건 최적화는 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ2 상대적 강건 포트폴리오 최적화의 계산적 과제는 무엇이며, 해석 가능한 근사법을 통해 이를 완화할 수 있는가?
• RQ3 다각형, 타원형 등의 불확실성 구조에서 상대적 강건 포트폴리오 문제는 어떤 조건에서 효율적인 콘형 프로그래밍 재구성 가능성이 있는가?
• RQ4 볼록 해석과 콘형 프로그래밍을 활용해 상대적 강건 포트폴리오 문제의 해석 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ5 상대적 강건 접근법은 절대 강건 최적화 및 표준 평균-분산 최적화에 비해 성능 및 강건성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 일반적으로 NP-난이도인 상대적 강건 포트폴리오 최적화 문제도 다각형 및 타원형 불확실성 집합 하에서는 해석 가능한 내부 및 외부 근사를 제공한다.
• 다각형 불확실성에서 정점 수가 최대 1개 또는 2개(m_g ∈ {0,1})일 경우 상대적 강건 문제는 제2차 콘 프로그래밍(SOCP)의 집합으로 축소되어 내부점수법을 통해 효율적으로 해결할 수 있다.
• 이 논문은 상대적 강건 공식화가 양의 준정적 행렬의 합과 특정 콘 생성 행렬을 포함하는 콘 타당성 문제와 동치임을 입증하여, 미약 조건 하에서 정확한 특성 기술이 가능함을 보였다.
• S-레마와 일반화된 S-레마의 활용은 상대적 강건 문제의 타당성에 대한 충분 조건을 도출할 수 있게 하며, 정점 수가 적을 경우 이 조건들이 필수 조건이기도 하다.
• 제안된 방법은 자산 관리자가 절대 최악의 성능에 대비하는 것이 아니라, 시나리오별 최적 포트폴리오 대비 상대적 성과 저하에 대비하는 포트폴리오를 구성할 수 있는 실용적 프레임워크를 제공한다.
• 이론적 결과는 상대적 강건 접근법이 표준 평균-분산 최적화에 비해 해의 지도가 더 매끄럽고, 특히 파라미터 불확실성이 존재할 경우 더 우수한 표본 외 성능을 보임을 보여준다.