[논문 리뷰] Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums

Prapanpong Pongsriiam|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 {1, 2, ..., n}의 상대적으로 소수인 부분집합의 수를 f(n)으로 표기하고, 관련 함수 Φ(n)과 D(n)를 연구한다. 여기서 D(n)은 f(d)의 약수 합이다. 모비우스 역전치와 조합 항등식을 사용하여 부분합과 점근적 극한을 도출하며, f(n), Φ(n), D(n)의 부분합이 2^{N+1}에 매우 가까이 수렴함을 보이며, 정확한 limsup 및 liminf 행동을 보인다. 주요 결과로는 D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3)인 합동성 성질과, D(n)이 gcd가 n을 나누는 부분집합의 수로 조합적으로 해석된다는 점이다.

ABSTRACT

For a nonempty finite set $A$ of positive integers, let $\gcd\left(A ight)$ denote the greatest common divisor of the elements of $A$. Let $f\left(n ight)$ and $Φ\left(n ight)$ denote, respectively, the number of subsets $A$ of $\left\{1, 2, \ldots, n ight\}$ such that $\gcd\left(A ight) = 1$ and the number of subsets $A$ of $\left\{1, 2, \ldots, n ight\}$ such that $\gcd\left(A\cup\left\{n ight\} ight) =1$. Let $D\left(n ight)$ be the divisor sum of $f\left(n ight)$. In this article, we obtain partial sums of $f\left(n ight)$, $Φ\left(n ight)$ and $D\left(n ight)$. We also obtain a combinatorial interpretation and a congruence property of $D\left(n ight)$. We give open questions concerning $Φ\left(n ight)$ and $D\left(n ight)$ at the end of this article.

연구 동기 및 목표

• f(n)이 {1,2,…,n}의 상대적으로 소수인 부분집합의 수이고, Φ(n)이 n과 상대적으로 소수인 비어있지 않은 부분집합의 수임을 고려할 때, f(n), Φ(n), D(n)의 부분합의 점근적 행동을 분석하는 것.
• f(n), Φ(n), D(n)의 부분합이 기대값 2^{N+1}으로부터 벗어남의 점근적 극한을 정확히 유도하는 것.
• D(n)이 gcd(A)가 n을 나누는 부분집합 A ⊆ {1,2,…,n}의 수임을 조합적으로 해석하는 것.
• 모든 n ≥ 1에 대해 D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3)인 합동성 성질을 확립하는 것. 여기서 d(n)은 n의 양의 약수의 개수이다.
• Φ(n)과 D(n)이 2^n에 얼마나 가까운지, 그리고 장기적으로 부호 행동과 비율이 어떻게 되는지에 대한 열린 문제를 제기하는 것.

제안 방법

• 모비우스 역전치를 사용하여 닫힌 표현식을 유도한다: f(n) = ∑_{d≤n} μ(d)(2^{⌊n/d⌋} - 1) 및 Φ(n) = ∑_{d|n} μ(d)(2^{n/d} - 1).
• f(n+1) = 2(Φ(n+1) + f(n))를 이용하여 f(n)과 Φ(n)을 연결하고, 이를 통해 재귀 및 합동성 성질을 도출한다.
• 약수 합 D(n) = ∑_{d|n} f(d)를 사용하고, 스케일링된 집합의 상대적으로 소수인 부분집합을 세는 방식으로 D(n)의 조합적 해석을 확립한다.
• d|n에 대해 A → (1/d)A의 변환을 적용하여 D(n)이 gcd(A)가 n을 나누는 부분집합 A ⊆ {1,2,…,n}의 수임을 보인다.
• 기존의 모비우스 함수 결과와 ∑_{d|n} μ(d) = 0 (n > 1일 때)인 항등식을 적용하여 합을 단순화하고 합동식을 도출한다.
• 2^{N+1} - 2와 비교하여 ∑_{n≤N} f(n), ∑_{n≤N} Φ(n), ∑_{n≤N} D(n)의 성장률을 분석하고, 2^{N/2}를 포함한 limsup 및 liminf 비율을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n ≥ 4에 대해 D(n) - Φ(n)의 부호가 번갈아가리는가?
• RQ2 n이 증가함에 따라 D(n) - Φ(n)의 부호가 무한히 번갈아가는가?
• RQ3 n → ∞일 때 비율 (2^n - D(n)) / (2^n - Φ(n))의 limsup 및 liminf 값은 무엇인가?
• RQ4 D(n) 또는 Φ(n)이 완전거듭제곱수인 n ≥ 2가 존재하는가?
• RQ5 D(n) 및 Φ(n)의 수열은 소수 p에 대해 주기적인가?

주요 결과

• 부분합 ∑_{n≤N} f(n)은 limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} f(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = 3 이고, liminf = 2√2 이다.
• 부분합 ∑_{n≤N} Φ(n)은 limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} Φ(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = 2 이고, liminf = √2 이다.
• 부분합 ∑_{n≤N} D(n)은 limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} D(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = √2 이고, liminf = 1 이다.
• D(n)은 gcd(A)가 n을 나누는 부분집합 A ⊆ {1,2,…,n}의 수로 조합적으로 해석된다.
• 모든 n ≥ 1에 대해 D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3)을 만족하며, 여기서 d(n)은 n의 양의 약수의 개수이다.
• Φ(n)과 D(n)은 2^n에 점근적으로 가깝지만, 4 ≤ n ≤ 15 범위에서 그 상대적 가까움의 부호가 번갈아가며, 이는 이 범위를 초월해도 부호 번갈아가름이 일어날 가능성을 시사한다.