[논문 리뷰] Relatively Uniformly Continuous Semigroups on Vector Lattices

Marko Kandić, Michael Kaplin|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 06.

Advanced Banach Space Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 상대적 균일 수렴 위상 τru를 사용하여 벡터 격자 위에서 상대적으로 균일 연속적인 반군을 도입함으로써, Lp(R) (0 < p < 1), Lip(R), UC(R), Cc(R)와 같은 비-Banach 및 비국소적으로 볼록인 공간에서도 강연속 반군 이론을 연구할 수 있도록 한다. 열반군, 이동 반군, Koopman 반군이 이러한 공간에서 상대적으로 균일 연속임을 입증하고, 새로운 성질 (D)를 통해 이러한 반군에 대한 확장 정리를 증명하며, 이는 Hille-Yosida 이론을 벡터 격자로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we study continuous semigroups of positive operators on general vector lattices equipped with the relative uniform topology $ au_{ru}$. We introduce the notions of strong continuity with respect to $ au_{ru}$ and relative uniform continuity for semigroups. These notions allow us to study semigroups on non-locally convex spaces such as $L^p(\mathbb{R})$ for $0<p<1$ and non-complete spaces such as $Lip(\mathbb{R})$, $UC(\mathbb{R})$, and $C_c(\mathbb{R})$. We show that the (left) translation semigroup on the real line, the heat semigroup and some Koopman semigroups are relatively uniformly continuous on a variety of spaces.

연구 동기 및 목표

• 강연속 반군 이론을 Banach 공간과 국소적으로 볼록인 공간을 초월하여 일반적인 벡터 격자로 확장하는 것.
• 상대적 균일 위상 τru에 대한 강연속성과 반군에 대한 상대적 균일 연속성의 정의 및 연구.
• Lip(R), UC(R), Cc(R), 및 0 < p < 1인 Lp(R)와 같은 비완비 및 비국소적으로 볼록인 공간에서 반군을 분석할 수 있는 프레임워크 수립.
• 상대적으로 균일 연속인 반군에 대한 확장 정리를 증명하기 위해 성질 (D)를 도입하고 활용하는 것.
• 기저가 되는 반유동을 통해 C(R), Lip(R), UC(R)에서 상대적으로 균일 연속인 Koopman 반군을 특성화하는 것.

제안 방법

• 넷을 이용한 아르키메데스 벡터 격자 위에서 상대적 균일 수렴 수열의 개념을 활용해 상대적 균일 위상 τru를 도입한다.
• 벡터 격자 위의 양의 연산자 반군에 대해 τru-강연속성과 상대적 균일 연속성을 정의한다.
• 상대적 균일 연속성이 τru-강연속성을 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않음을 증명한다.
• 확장 정리를 가능하게 하기 위해 벡터 격자에 대해 균일 유계성 원리의 일반화인 성질 (D)를 도입한다.
• 확장 정리를 활용하여 C(R), Lip(R), UC(R)에서 상대적으로 균일 연속인 Koopman 반군을 그 반유동을 통해 특성화한다.
• 이론을 구체적 예시에 적용한다: Lip(RN) 및 UC(RN)에서의 열반군, Lp(R)에서의 왼쪽 이동 반군.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lp(R) (0 < p < 1) 및 Cc(R)와 같은 비-Banach 및 비국소적으로 볼록인 벡터 격자로 강연속 반군 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ2 양의 연산자 반군이 어떤 조건에서 벡터 격자 위에서 상대적으로 균일 연속이 되는가?
• RQ3 상대적 균일 연속성과 τru-강연속성 사이의 관계는 무엇이며, 어떤 경우에 서로 다를 수 있는가?
• RQ4 성질 (D)는 상대적으로 균일 연속인 반군을 밀집 부분집합으로부터 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 C(R), Lip(R), UC(R)에서 상대적으로 균일 연속인 Koopman 반군은 그 기저 반유동을 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 N ∈ ℕ에 대해, Lip(RN) 및 UC(RN)에서 열반군은 상대적으로 균일 연속이다.
• 0 < p < ∞인 Lp(R)에서의 왼쪽 이동 반군은 τru-강연속이지만 상대적으로 균일 연속이 아니다.
• C(R), Lip(R), UC(R), Cc(R)와 같은 중요한 벡터 격자에서 성질 (D)가 성립하며, 이는 상대적으로 균일 연속인 반군에 대한 확장 정리를 가능하게 한다.
• 성질 (D)를 사용하여 상대적으로 균일 연속인 반군에 대한 확장 정리를 확립하였으며, 이는 Hille-Yosida 유형의 특성화에 핵심적인 역할을 한다.
• C(R), Lip(R), UC(R)에서 상대적으로 균일 연속인 Koopman 반군은 어떤 u ∈ X와 모든 h ∈ [0,δ]에 대해 |ϕ(h,x)−x| ≤ ε·u(x)를 만족하는 반유동 ϕ에 의해 특성화된다. 여기서 u는 ε에 따라 달라진다.
• X = Lip(R) 또는 UC(R)인 경우, Koopman 반군의 상대적 균일 연속성은 모든 h ∈ [0,δ] 및 x ∈ R에 대해 |ϕ(h,x)−x| ≤ ε·(1+|x|)를 만족하는 δ > 0의 존재와 동치이다.