[논문 리뷰] Relativistic quantum mechanics of the Majorana particle: quaternions, paired plane waves, and orthogonal representations of the Poincar\'e group

H. Arodź, Z. Świerczyński|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 29.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 10인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 상대론적 마요라나 입자를 위한 기본 운동량 관측량으로 표준 $-i\nabla$가 파동 함수의 실수성을 유지하지 못하므로 이를 대체할 축성 운동량 연산자 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$를 제안한다. $\hat{p}_5$의 고유함수를 사용하여 마요라나 방정식의 일반해는 반대 방향의 운동량 $\mathbf{p}$와 $-\mathbf{p}$를 가진 쌍이 이루어진 비대칭 평면파로 구성됨을 보여주며, 이 모델은 반대칭 입자 없음과 일치하는 스핀-1/2에 해당하는 실수, 비가역, 정규직교 표현을 실현한다.

ABSTRACT

The standard momentum operator $-i abla$ can not be accepted as observable in relativistic quantum mechanics of the Majorana particle. Instead, one can use axial momentum operator recently proposed in Phys. Lett. A {\bf383}, 1242 (2019). In the present paper we report several new results related to the axial momentum which elucidate its usability. First, a new motivation for the axial momentum is given, and the Heisenberg uncertainty relation checked. Next, we show that the general solution of time evolution equation in the axial momentum basis has a connection with quaternions. Single traveling plane waves are not possible in the massive case, but there exist solutions which consist of asymmetric pair of plane waves traveling in opposite directions. Finally, pertinent real orthogonal and irreducible representation of the Poincar\'e group -- consistent with the lack of antiparticle -- is unveiled.

연구 동기 및 목표

• 마요라나 상대론적 양자역학에서 표준 $-i\nabla$ 연산자가 실수 바이스핀어를 허수로 매핑하여 실수 힐베르트 공간의 구조를 위반하므로, 운동량 관측 가능성 문제를 해결하기 위함.
• 시간 진동과 공간 이동을 일관된 프레임워크로 유지하기 위해 축성 운동량 연산자 $\hat{p}_5$를 이동의 생성자로 사용함.
• 직접 합성된 두 스핀-1/2 표현이 드러나는 디랙 이론에서 보이는 것과 달리, 질량이 있는 마요라나 입자에 대해 실수, 비가역, 정규직교 파oincar\'e 군 표현을 구성하기 위함.
• 허수수와 쌍의 진행 평면파를 통한 해의 물리적 해석을 탐색하여, 디랙 이론에 없었던 새로운 특성을 드러내기 위함.

제안 방법

• 실수 바이스핀어의 실수성을 유지하는 자기수성 관측 가능 연산자로서 축성 운동량 연산자 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$를 도입하고 그 동기를 제시함.
• $\hat{p}_5$의 고유함수를 사용하여 시간에 의존하는 마요라나 파동함수를 전개함으로써, 시간 진동하는 SO(4) 행렬의 초위상으로 표현되는 해를 도출함.
• 일반해를 $\hat{p}_5$의 고유값 $\mathbf{p}$에 대응하는 진폭을 가진 진행 평면파의 초위상으로 재구성함으로써, 반대 방향 운동량을 가진 쌍 모드가 드러남.
• $\hat{p}_5$ 기저에서의 시간 진동 진폭과 허수수 사이의 연결 고리를 설정하여, 변환 행렬이 허수수 곱셈에 해당함을 보임.
• 축성 운동량 기저에서의 진폭에 작용하는 파oincar\'e 군의 실수, 비가역, 정규직교 표현을 구성함으로써 모델의 상대론적 불변성을 도출함.
• 마요라나 입자에 대한 위그너 회전 행렬이 SU(2)의 스핀-1/2 표현의 실수 형태와 동일함을 보여, 이 프레임워크에서 입자의 스핀-1/2 성질을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 운동량 연산자 $-i\nabla$는 왜 마요라나 입자에 대해 유효한 관측 가능량이 아니며, 이를 대체할 수 있는 대안적 관측 가능량은 무엇인가?
• RQ2 축성 운동량 기저에서 마요라나 파동함수의 시간 진동은 어떻게 행동하며, SO(4) 행렬은 이 진동에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 마요라나 방정식의 일반해는 진행 평면파의 초위상으로 표현될 수 있는가? 만약 가능하다면 그 운동량과 진폭에 대한 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 축성 운동량 기저에서 파oincar\'e 군 불변성은 어떻게 실현되며, 그 결과로 얻어지는 군 표현의 성격은 무엇인가?
• RQ5 해의 구조와 허수수 사이의 연결 고리는 무엇이며, 이는 로렌츠 군의 스핀-1/2 표현과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 축성 운동량 연산자 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$는 표준 $-i\nabla$와 달리 전하 케이저와 교환 가능하며, 헤이젠베르크 불확도관계도 만족하는 유효한 자기수성 관측 가능량이다.
• 축성 운동량 기저에서 마요라나 방정식의 일반해는 파장 벡터 $\mathbf{p}$와 $-\mathbf{p}$를 가진 진행 평면파의 초위상으로 표현되며, 진폭 비율 $1 : m/E_q$를 가진 비대칭 쌍을 이룸.
• 질량이 있는 경우($m > 0$), 축성 운동량은 해밀토니언과 교환되지 않기 때문에 $\hat{p}_5$의 고유상태는 정적 상태가 아니며, 최소 불변 부분공간은 $\pm\mathbf{p}$를 가진 모드 쌍으로 생성된다.
• 파동함수의 시간 진동은 시간에 따라 변하는 SO(4) 행렬을 포함하지만, 이를 쌍의 평면파로 재표현할 수 있어 물리적 해석이 단순화된다.
• 이 모델은 직접 합성의 구조 없이 실수, 비가역, 정규직교 파oincar\'e 군 표현을 실현하며, 반대칭 입자가 없는 것과 일치하는 스핀-1/2 표현의 실수 형태와 동치이다.
• $\hat{p}_5$ 기저에서의 진폭에 대한 변환 행렬은 허수수 곱셈과 동형이며, 행렬 $\hat{T}(u)$는 $\alpha' I_4 + \beta' \hat{i} + \beta'' \hat{j} + \alpha'' \hat{k}$로 표현되며, 이는 해 공간의 허수수적 구조를 확인한다.