[논문 리뷰] Relaxation and 3d-2d passage theorems in hyperelasticity

Omar Anza Hafsa, Jean-Philippe Mandallena|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 06.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $γ(\pi)$-수렴과 준볼록화를 이용하여 결정형 제약 조건 하에서 초탄성성 이론 내에서 이완 및 3D-2D 차원 축소 정리들을 수립한다. Dacorogna의 이완 정리와 Le Dret-Raoul의 3D-2D 전이 정리를 비가역성 및 체적 압축에 대한 무한 에너지 조건을 반영하는 초탄성 설정으로 확장하며, '풍부한 에너지 밀도' 조건 하에서 준볼록화가 다항 성장 특성을 유지함을 증명한다.

ABSTRACT

We give an overview of relaxation and 3d-2d passage theorems in hyperelasticity in the framework of the multidimensional calculus of variations. Some open questions are addressed. This paper, which is an expanded version of the outline-paper [AHM09b], comes as a companion to [AHM09a].

연구 동기 및 목표

• 비가역성과 체적 압축에 대한 무한 에너지 조건을 반영하는 결정형 제약 조건을 포함하여 Dacorogna의 이완 정리를 초탄성성 설정으로 확장하기.
• 비가역성과 무한 압축 에너지 조건과 일치하는 물리 원칙을 고려한 초탄성성과 호환되는 설정으로 Le Dret-Raoul의 3D-2D 전이 정리를 일반화하기.
• '풍부한 에너지 밀도'—즉, 준볼록화된 에너지가 다항 성장을 보이는 에너지 밀도—를 도입하고 분석하여 이완 및 차원 축소 정리의 확장을 가능하게 하기.
• 특히 강한 결정형 제약 조건 하에서 이완 및 차원 축소 문제의 열린 문제를 해결하기.
• 초탄성 제약 조건 하에서 얇은 구조물의 3D-2D 전이를 위한 엄밀한 프레임워크를 $γ(\pi)$-수렴을 이용해 제공하기.

제안 방법

• $\varepsilon \to 0$일 때 두께가 감소하는 3D 에너지 함수의 $γ$-극한을 분석하기 위해 $γ(\pi)$-수렴을 활용하여 2D 등效 에너지로의 수렴을 보장한다.
• 비볼록 에너지 밀도를 보존하면서 물리적 제약 조건을 유지하기 위해 준볼록화를 통해 이완을 수행하며, 이는 준볼록화된 에너지 함수 $\mathcal{Q}W$를 이용한다.
• '풍부한 에너지 밀도'—즉, 준볼록화된 에너지가 다항 성장을 보이는 에너지 밀도—의 개념을 도입하여 고전적 정리의 확장을 가능하게 한다.
• 편미분형과 비선형 변형을 조합한 파arametrized 테스트 함수 $H(\xi, t, a \otimes b)$를 활용하여 이완된 에너지를 특성화한다.
• 보조 함수 $h$의 강력성과 연속성을 이용하여 이완 과정에서 하부 반연속성과 최소화자 존재성을 증명한다.
• 다양한 결정형 제약 조건 하에서 이완 기능 $\overline{I}(\phi) = \int_\Omega \mathcal{Q}W(\nabla\phi(x))\,dx$의 표현 공식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dacorogna의 이완 정리는 $\det F \to 0^+$일 때와 $\det F \leq 0$일 때 에너지 밀도가 무한으로 발산하는 초탄성 설정으로 확장 가능한가?
• RQ2 비가역성과 무한 탄성 압축 에너지 조건을 충족하는 강한 결정형 제약 조건 하에서 Le Dret-Raoul의 3D-2D 전이 정리는 성립하는가?
• RQ3 비유한이며 결정형 제약 조건이 적용된 에너지 밀도의 준볼록화된 에너지 $\mathcal{Q}W$가 다항 성장을 유지하는 조건이 존재하는가?
• RQ4 에너지 밀도가 초탄성 제약 조건을 만족할 때 3D 에너지 함수의 $\Gamma(\pi)$-수렴이 2D 극한으로 성립하는가?
• RQ5 '풍부한 에너지 밀도'는 초탄성성에서 이완과 차원 축소 정리 간의 일관성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 $W$가 유한하지 않거나 특이점을 가질 수 있음에도 불구하고, 풍부한 에너지 밀도 조건 하에서 이완 기능 $\overline{I}(\phi)$가 $\int_\Omega \mathcal{Q}W(\nabla\phi(x))\,dx$와 동일함을 증명한다.
• 강한 결정형 제약 조건($\det F \leq 0 \Rightarrow W(F) = +\infty$, $W(F) \to \infty$ as $\det F \to 0^+$) 하에서 준볼록화된 에너지 함수 $\mathcal{Q}W$가 다항 성장을 유지함을 보였다.
• 초탄성성과 일치하는 강한 결정형 제약 조건 하에서 3D 에너지 함수 $I_\varepsilon$의 $\Gamma(\pi)$-수렴이 2D 극한으로 성립함을 입증하여 일관성을 확인하였다.
• 보조 함수 $\mathcal{H}(\xi)$는 $t \in [0,1]$ 및 랭크-일차 방향에 대한 매개변수화된 최소값으로 정의되며, 연속성과 강력성을 증명하여 최소화자 존재를 보장한다.
• 준볼록화된 에너지 함수 $\mathcal{Q}W$는 $\varphi \in W^{1,\infty}(Y)$를 포함하는 이중 척도 테스트 함수 구성으로 표현되며, 여기서 $Y = (0,1)^N$이다.
• 조건이 만족될 경우, 즉 $h$가 연속적이고 강력할 경우, 모든 $\xi \in \mathbb{M}^{3\times 2}$에 대해 $\mathcal{H}(\xi) = h(\xi)$임을 증명하였다.