[논문 리뷰] Relaxation of Multitime Statistics in Quantum Systems

Neil Dowling, Pedro Figueroa–Romero외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 17.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 고립된 양자 다체계에서 다시시간 상관함수들이 장시간에 걸쳐 열적 평형 과정의 것들과 동일시됨을 보여준다. 이는 시스템이 초기에는 평형에서 벗어나 있을지라도 성립한다. 효과적 차원을 핵심 매개변수로 삼아, 저자들은 대부분의 다시간 관측량이 지수적으로 큰 수의 측정이 이루어지지 않는 한 평형 상태의 것들과 구분되지 않음을 보이며, 이는 비평형 특성이 일반적인 측정에서는 효과적으로 숨겨져 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Equilibrium statistical mechanics provides powerful tools to understand physics at the macroscale. Yet, the question remains how this can be justified based on a microscopic quantum description. Here, we extend the ideas of pure state quantum statistical mechanics, which focus on single time statistics, to show the equilibration of isolated quantum processes. Namely, we show that most multitime observables for sufficiently large times cannot distinguish a nonequilibrium process from an equilibrium one, unless the system is probed for an extremely large number of times or the observable is particularly fine-grained. A corollary of our results is that the size of non-Markovianity and other multitime characteristics of a nonequilibrium process also equilibrate.

연구 동기 및 목표

• 고립된 시스템에서 유니터리 양자 역학이 어떻게 평형 통계역학으로 나타나는지 이해하기 위해.
• 단일 시간 평균값을 넘어서 다시간 상관함수들이 비평형 과정과 평형 과정을 어떻게 구분할 수 있는지 조사하기 위해.
• 다시간 관측량이 수렴하는 조건, 특히 비마르코프성과 운영적으로 관련된 양자 과정의 맥락에서 이를 규명하기 위해.
• 과정 텐서와 도구를 사용하여 운영적으로 중요한 양자 특성의 수렴을 분석하는 일반적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 이론적으로 존재하는 비평형 서명이 실제로는 감지되지 않는 조건을 정량화하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 다시간 상관함수를 프로세스 텐서에 작용하는 단일 연산자의 기댓값으로 재정의하여 시간 순서가 지정된 관측량을 분석할 수 있도록 한다.
• 평형 과정 Ω는 원래의 유니터리 과정 Υ를 시스템 해밀토니안에 대해 디페징 맵을 적용하여 얻는다.
• 핵심 분석 도구는 상태의 복잡도를 측정하고 수렴 속도를 결정하는 효과적 차원 $ d_{\mathrm{eff}}[\sigma] = 1 / \mathrm{tr}[\$(\sigma)^2] $이다.
• 다양한 열역학적 환경의 차원을 변화시키며 비마르코프성과 다시간 관측량의 수렴을 시험하기 위해 랜덤 매트릭스 해밀토니안과 랜덤 초깃값을 사용한 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 다시간 도구(예: 측정의 순서)를 통해 과정을 탐색하고, 다양한 도구에 대해 원래 과정 Υ와 평형 과정 Ω 사이의 차이를 계산한다.
• 장시간 및 유한시간 영역을 모두 포함한 분석을 수행하며, 시스템-환경 해밀토니안과 초깃값의 다수의 랜덤 실현에 대해 평균을 내어 결과를 도출한다.

Figure 1: (a) A general quantum process $\Upsilon$ composed of infinitesimal unitary evolution operators $\mathcal{U}_{\delta}$ and some initial state $\rho$ . (b) Multitime instrument $\textbf{A}_{\textbf{k}}$ , corresponding to any sequence of quantum operations (including measurements), is applie

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립된 양자 다체계에서 다시간 상관함수는 비평형 과정과 평형 과정을 구분할 수 있는가?
• RQ2 다시간 관측량이 수렴하는 조건은 무엇이며, 효과적 차원은 이러한 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비평형 특성(예: 비마르코프성)이 일반적인 측정에서 얼마나 효과적으로 숨겨지는가?
• RQ4 다시간 과정에서 비평형 행동을 감지하기 위해 필요한 측정 수의 척도는 어떻게 되는가?
• RQ5 다시간 통계의 수렴은 일반적인 다체계 양자 시스템에서 일반적인 특성인가?

주요 결과

• 대부분의 다시간 도구에 대해, 비평형 유니터리 과정 Υ에서의 관측량 기댓값은 평형 디페징 과정 Ω와 구분되지 않으며, 오차는 $ 1/d_{\mathrm{eff}} $ 이내이다.
• Υℓ과 평형 과정 Ω 사이의 비마르코프성 평균 절대 차이는 $ \sigma_{\rm av} = 1.8 \times 10^{-4} $였고, Υℓ의 경우 $ 1.0 \times 10^{-3} $였으며, 이는 강한 수렴을 시사한다.
• 수렴 오차는 효과적 차원 $ d_{\mathrm{eff}} $ 와 반비례하며, 현실적인 다체계에서는 이 값이 시스템 크기와 함께 지수적으로 증가한다.
• 단일 큐비트가 랜덤 매트릭스 환경과 결합된 수치 시뮬레이션 결과, 비마르코프성이 장시간에 걸쳐 수렴하는 것으로 나타났지만, 단시간 과정은 초깃값에 민감하게 반응하였다.
• 결과적으로, 다시간 과정에서 비평형 특성을 감지하기 위해서는 지수적으로 큰 수의 측정이 필요하며, 일반적인 상황에서는 효과적으로 관측 불가능하다는 것을 시사한다.
• 이 프레임워크는 비마르코프성과 같은 운영적으로 중요한 특성의 수렴을 성공적으로 기록하였으며, 이러한 성질도 평형 값으로 안정화됨을 확인한다.

Figure 2: Non-Markovianity of a 3-step process $\Upsilon$ and the corresponding $\Omega$ of a single qubit coupled to a random matrix environment, with a varying effective dimension $d_{\textrm{eff}}$ (details can be found in Appendix G ). One can see that the non-Markovianity of a general process $