[논문 리뷰] Reliability of lattice gauge theories in the thermodynamic limit

Maarten Van Damme, Haifeng Lang외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 14.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스핀-S 표현이 큰 경우에도 열역학적 극한에서 에너지 페널티 보호가 게이지 불변성을 유지함을 보여준다. 분석적으로 두 가지 새로운 효과 이론—조정된 게이지 이론과 재규격화된 게이지 이론—을 규명하였으며, 이들의 역학은 각각 $\sqrt{V/V_0^3}$ 및 $\exp(V/V_0)/V_0$ 비례하는 시간스케일까지 시스템을 정확히 기술한다. 보호 강도 $V$는 $S^2$ 비례하며 체적에 독립적이다.

ABSTRACT

Although gauge invariance is a postulate in fundamental theories of nature such as quantum electrodynamics, in quantum-simulation implementations of gauge theories it is compromised by experimental imperfections. In a recent work [Halimeh and Hauke, \href{https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.125.030503}{Phys. Rev. Lett. extbf{125}, 030503 (2020)}], it has been shown in finite-size spin-$1/2$ quantum link lattice gauge theories that upon introducing an energy-penalty term of sufficiently large strength $V$, unitary gauge-breaking errors at strength $λ$ are suppressed $\proptoλ^2/V^2$ up to all accessible evolution times. Here, we show numerically that this result extends to quantum link models in the thermodynamic limit and with larger spin-$S$. As we show analytically, the dynamics at short times is described by an extit{adjusted} gauge theory up to a timescale that is at earliest $τ_ ext{adj}\propto\sqrt{V/V_0^3}$, with $V_0$ an energy factor. Moreover, our analytics predicts that a renormalized gauge theory dominates at intermediate times up to a timescale $τ_ ext{ren}\propto\exp(V/V_0)/V_0$. In both emergent gauge theories, $V$ is volume-independent and scales at worst $\sim S^2$. Furthermore, we numerically demonstrate that robust gauge invariance is also retained through a single-body gauge-protection term, which is experimentally straightforward to implement in ultracold-atom setups and NISQ devices.

연구 동기 및 목표

• 실험적 불완전성이 게이지 불변성을 깨뜨리는 조건에서 래티스 게이지 이론이 열역학적 극한에서 신뢰성 있는가를 입증하는 것.
• 이전에 유한한 크기의 시스템에서 입증된 에너지 페널티 보호가 열역학적 극한과 더 큰 스핀-S 표현에서 여전히 효과적인가를 조사하는 것.
• 보호 조건 하에서 게이지 위반 오차로부터 유도되는 효과 동역학을 분석적으로 유도하고, 조정된 이론과 재규격화된 이론이 주도하는 별개의 시간스케일을 규명하는 것.
• 보호 강도 $V$가 체적에 독립적임을 검증하고, 최악의 경우 $S^2$ 비례함을 보여 시뮬레이션의 확장 가능성을 확보하는 것.
• 초냉각 원자 및 NISQ 장치에서의 구현 가능성을 고려할 때 단일체 게이지 보호 항이 얼마나 강건한가를 보여주는 것.

제안 방법

• 무한대 행렬 곱 상태(iMPS)를 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 열역학적 극한에서 스핀-S 양자 리ン크 모델의 순간 변화 동역학을 연구하는 것.
• 전체 에너지 페널티 $V H_G = V \sum_j G_j^2$ 와 선형 보호 항 $V \tilde{H}_G = V \sum_j c_j G_j$ 를 적용하며, $c_j$ 는 양자 제노 효과를 유도하도록 선택된다.
• 지역적, 과잉되지 않은, 갭이 있는 보호 해밀토니안 하에서 제약된 양자 동역학에 대한 일반적인 상한을 도출하기 위해 Abanin-De Roeck-Ho-Huveneers(ARHH) 방법을 응용하는 것.
• 조정된 게이지 이론 해밀토니안 $H_{\text{adj}} = H_0 + \lambda \mathcal{P}_0 H_1 \mathcal{P}_0$ 의 분석적 유도. 이는 $\mathcal{P}_0$ 가 물리적 부분공간에 대한 투영임을 고려할 때, 시간스케일 $\tau_{\text{adj}} \propto \sqrt{V/V_0^3}$ 까지 유효하다.
• 보호 강도의 비항등적 효과에서 기인하는 비항등적 안정화를 통해, 중간 시간에 재규격화된 게이지 이론이 주요 효과 동역학이 되며, 이는 시간스케일 $\tau_{\text{ren}} \propto \exp(V/V_0)/V_0$ 까지 유효하다.
• 양자 제노 효과를 통해 선형 보호의 타당성을 정당화하며, 오차 한계는 $\sim t V_0^2 L^2 / V$ 비례하고, 시간스케일은 $\propto V/(V_0 L)^2$ 비례한다.

Figure 1: (Color online). Energy protection in lattice gauge theories. The initial gauge-invariant state is quenched by the “faulty” gauge theory $H=H_{0}+\lambda H_{1}+H_{\text{pro}}$ ; the ideal gauge theory $H_{0}$ is the spin- $S$ $\mathrm{U}(1)$ quantum link model given in Eq. ( 1 ), the gauge-

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 스핀-S 표현을 가진 래티스 게이지 이론의 열역학적 극한에서 에너지 페널티 보호가 게이지 불변성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 강한 보호 조건 하에서 게이지 위반 오차로부터 유도되는 효과 동역학은 무엇이며, 보호 강도 $V$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 효과 동역학이 유효한 시간스케일이 체적에 독립적이고 $S$ 에 따라 확장 가능한가?
• RQ4 양자 제노 효과는 선형 보호 계획에서 게이지 보호에 어떻게 기여하며, 그로 인한 오차 한계는 무엇인가?
• RQ5 단일체 게이지 보호 항은 초냉각 원자 시스템과 NISQ 장치와 같은 실험적으로 실현 가능한 설정에서 강건한 보호를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 시스템의 동역학은 시간스케일 $\tau_{\text{adj}} \propto \sqrt{V/V_0^3}$ 까지 조정된 게이지 이론 $H_{\text{adj}} = H_0 + \lambda \mathcal{P}_0 H_1 \mathcal{P}_0$ 를 통해 정확히 기술되며, 오차는 $\sim t^2 V_0^3 / V$ 이하로 제한된다.
• 물리적 오차 항 $\lambda H_1$ 에 대해 조정된 해밀토니안은 $\mathcal{P}_0 H_1 \mathcal{P}_0 = 0$ 이므로 $H_0$ 로 간소화되며, 이 차수에서는 효과적인 수정이 없다.
• 중간 시간에 재규격화된 게이지 이론이 주도적인 효과 동역학이 되며, 시간스케일 $\tau_{\text{ren}} \propto \exp(V/V_0)/V_0$ 까지 유효하다. 이는 게이지 불변성이 비항등적 효과에 의해 안정화됨을 시사한다.
• 보호 강도 $V$ 는 체적에 독립적이며, 큰 $S$ 근처에서 최악의 경우 $S^2$ 비례함을 보여 시뮬레이션의 확장 가능성을 보장한다.
• 단일체 게이지 보호 항—특히 비일관된 수열 $c_j = (-1)^{j+1}$ 을 가진 선형 보호—는 양자 제노 효과를 통해 강건한 게이지 불변성을 달성하며, 오차 한계는 $\sim t V_0^2 L^2 / V$ 이다.
• 수치 결과는 전체 보호 및 선형 보호 모두가 강건한 게이지 불변성을 유지하며, iMPS 시뮬레이션에서 랩의 차원에 걸쳐 수렴함을 확인한다.

Figure 2: (Color online). Gauge violation as given in Eq. ( 6 ) as function of gauge-spin length $S$ [(a) $S=1/2$ , (b) $S=1$ , (c) $S=3/2$ , and (d) $S=2$ ], computed in the thermodynamic limit using iMPS. The initial state, outlined in Fig. 1 , is quenched with Hamiltonian $H_{0}+\lambda H_{1}+VH_