[논문 리뷰] Remarks on irregular conformal blocks and Painlevé III and II tau functions

Hajime Nagoya|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 바르아소로 대수에서 랭크 $ r $ 인 비정칙 정점 연산자의 존재성과 유일성을 증명하며, 분기된 비정칙 정점 연산자를 도입하여 $ z $의 분수거듭제곱을 포함하는 형식적 멱급수 전개를 갖는 비정칙 등각 블록을 도출한다. 주요 기여는 중심 전하 $ c=1 $ 인 분기된 비정칙 등각 블록을 통해 두 번째 및 세 번째 피놀레 방정식의 $ \tau $-함수에 대한 무한대에서의 추측적 급수 전개를 제안하는 것으로, 이는 아르가레스-두아글라스 이론에서의 자석 및 이온 Nekrasov 분할 함수와 연결된다.

ABSTRACT

We prove a conjecture on uniqueness and existence of the irregular vertex operators of rank $r$ introduced in our previous paper. We also introduce ramified irregular vertex operators of the Virasoro algebra. As applications, we give conjectural formulas for series expansions of Painlevé III and II tau functions in terms of our ramified irregular conformal blocks.

연구 동기 및 목표

• 바르아소로 대수에서 랭크 $ r $ 인 비정칙 정점 연산자의 존재성과 유일성에 대한 추측을 그들의 교환관계 및 최고 무게 벡터 위에서의 작용으로 엄밀히 증명하는 것.
• 바르아소로 생성자들이 정수 인덱스를 갖더라도 $ z^{1/2} $, $ z^{3/2} $ 및 고차 분수거듭제곱을 포함하는 전개를 허용하는 수정된 OPE 구조를 통해 분기된 비정칙 정점 연산자의 새로운 클래스를 도입하는 것.
• 무한대에서의 $ \tau $-함수 급수 전개와 관련된 중심 전하 $ c=1 $ 인 분기된 비정칙 등각 블록 간의 추측적 연결을 수립하는 것.
• 중심 전하 $ c=1 $ 대응을 통해 이러한 등각 블록 구조를 아르가레스-두아글라스 이론에서의 자석 및 이온 Nekrasov 분할 함수와 연결하는 것.
• 정수 매개변수를 복소수 매개변수로 일반화하여 공통된 초함수를 일반화함으로써 피놀레 초함수에 대한 더 넓은 적용 가능성을 확보하는 것.

제안 방법

• 비정칙 정점 연산자의 교환관계 및 최고 무게 벡터 위에서의 작용이 유일하게 연산자를 결정함을 검증함으로써, 랭크 $ r $ 인 비정칙 정점 연산자의 존재성과 유일성을 증명하며, 이는 이전의 랭크 0 경우의 결과를 일반화한다.
• 바르아소로 생성자 $ L_n $ 이 정수 인덱스를 유지하더라도 $ z^{1/2} $, $ z^{3/2} $ 및 고차 분수거듭제곱을 포함하는 전개를 허용하는 수정된 OPE 구조를 통해 분기된 비정칙 정점 연산자를 도입한다.
• 최고 무게 상태 $ |\Lambda\rangle $ 와 연산자 작용 $ \Phi^{[r],\lambda}_{\Delta,\Lambda}(z)|\Lambda\rangle = z^{\alpha}e^{\sum \beta_i/z^i}\sum v_m z^m $ 를 사용하여, 이러한 분기된 정점 연산자의 기대값으로서 비정칙 등각 블록의 형식적 멱급수 전개를 구성한다.
• 선형 스크리닝 연산자를 공통된 초함수에 적용하여, 복소수 $ p $ 를 매개변수로 하는 무한한 비정칙 정점 연산자 가닥을 생성함으로써, 이전의 정수 $ p $ 에 기반한 구성들을 일반화한다.
• 이러한 분기된 등각 블록의 푸리에 변환으로서, 피놀레 II 및 III 방정식의 무한대에서의 $ \tau $-함수 급수 전개가 유도된다는 추측을 제기한다. 중심 전하 $ c=1 $ 을 사용한다.
• 피놀레 $ \mathrm{II} $ 및 $ \mathrm{III} $ 에 대한 알려진 미분방정식을 활용하며, [BLMST]에서의 $ \tau $-함수 전개와 블록 전개의 계수를 일치시켜 분석한다. 특히 Barnes $ G $-함수와 $ \beta_i $ 이동을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정칙 정점 연산자의 존재성과 유일성이 그들의 교환관계 및 최고 무게 벡터 위에서의 작용으로부터 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ2 표준적인 $ z^n $ 전개가 분기된 특이성으로 인해 실패할 경우, 무한대에서의 점근적 전개를 위한 비정칙 등각 블록을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 중심 전하 $ c=1 $ 인 분기된 비정칙 등각 블록과 피놀레 II 및 III 방정식의 무한대에서의 $ \tau $-함수 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 이러한 분기된 블록이 아르가레스-두아글라스 이론에서의 알려진 분할 함수, 예를 들어 자석 또는 이온 Nekrasov 분할 함수와 대응하는가?
• RQ5 공통된 초함수에서의 정수 매개변수 $ p $ 는 복소수 매개변수 $ p \in \mathbb{C} $ 로 일반화될 수 있으며, 그 결과로 얻어지는 정점 연산자 및 등각 블록에 대한 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 비정칙 정점 연산자의 존재성과 유일성에 대한 추측이 증명되어, 이러한 연산자를 통한 비정칙 등각 블록 구축에 대한 엄밀한 기초를 확립한다.
• 바르아소로 생성자가 정수 인덱스를 갖더라도 $ z^{1/2} $ 및 $ z^{3/2} $ 와 같은 분수거듭제곱을 포함하는 형식적 멱급수 전개를 생성하는 분기된 비정칙 정점 연산자가 도입된다.
• 세 번째 피놀레 방정식의 $ \tau $-함수에 대한 무한대에서의 추측적 급수 전개가 분기된 비정칙 등각 블록을 통해 제시되며, Barnes $ G $-함수와 $ n \in \mathbb{Z} $ 에 대한 합이 포함되며, [BLMST]에서의 $ \mathrm{P_{III}} $ 전개와 계수가 일치한다.
• 두 번째 피놀레 방정식의 $ \tau $-함수에 대해서도 유사한 추측적 전개가 제안되며, $ (2\pi)^{-\nu-n} $, $ (4\sqrt{2})^{-(\nu+n)^2} $, $ G(1+\nu+n\pm\theta/2) $ 가 포함되며, 복소수 매개변수 $ a $ 가 $ a^{3/2} = -\sqrt{-2} $ 를 만족한다.
• 분기된 블록 전개에서 연속된 $ \beta_1 $ 계수 간의 차이는 4로 나타나며, 이는 피놀레 $ \mathrm{P_{III}} $ $ \tau $-함수 급수 전개에서의 이동과 일치하여 스크리닝 연산자 관계를 시사한다.
• 형식 $ (0,0,1/2) $ 의 분기된 블록에서 $ z^{1/2} $ 와 $ z $ 의 계수는 $ \Delta' = (\theta_1 - \theta_2)^2/4 $, $ \beta = 4\nu $, $ \Delta = (\theta_1 + \theta_2)^2/4 $, $ c=1 $ 일 때 [BLMST]의 $ D_1(\nu) $, $ D_2(\nu) $ 와 일치한다.