[논문 리뷰] Remarks on $L^p$-limiting absorption principle of Schrödinger operators and applications to spectral multiplier theorems

Shanlin Huang, Xiaohua Yao외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 10.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 38인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$) 위에서 슈뢰딩거 연산자 $H = -\Delta + V$에 대해 $L^p$-유형의 한계 흡수 원리가 수립되며, $V$에 대한 적분 가능성 및 스펙트럼 정규성 조건 하에서 $\lambda > 0$에 대해 균일한 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 해리만 추정을 증명한다. 이 결과는 날카운 스펙트럼 승수 정리와 분수 슈뢰딩거 연산자에 대한 균일한 하디-리틀우드-소볼레프 부등식의 일반화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper comprises two parts. We first investigate a $L^p$ type of limiting absorption principle for Schrödinger operators $H=-Δ+V$, i.e., In $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 3$) we prove the $ε-$uniform $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ estimates of the resolvent $(H-λ\pm iε)^{-1}$ for all $λ>0$ when the potential $V$ belongs to some integrable spaces and a spectral condition of $H$ at zero is assumed. As an application, we establish a sharp spectral multiplier theorem and $L^p$ bound of Bochner-Riesz means associated with Schrödinger operators $H$. Next, we consider the fractional Schrödinger operator $H=(-Δ)^α+V$ ($0<2α

연구 동기 및 목표

• 슈뢰딩거 연산자 $H = -\Delta + V$에 대해 $\lambda_0 = 0$ 인 경우에 $L^p$-유형의 한계 흡수 원리를 확장하는 것.
• 균일한 해리만 추정을 이용해 $H$에 대한 날카운 허르망더 유형의 스펙트럼 승수 정리를 수립하는 것.
• 분수 슈뢰딩거 연산자 $(-\Delta)^\alpha + V$에 대해 $0 < 2\alpha < n$ 인 경우 균일한 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 일반화하는 것.
• 임베디드 고유값의 부재 및 영점에서의 정규성 조건을 통해 $H$의 스펙트럼 행동을 특성화하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 정규성 조건 하에서 $V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ 및 $L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$에서의 영점 정규성 조건을 만족할 때, $\lambda > 0$에 대해 $(H - \lambda \pm i\epsilon)^{-1}$에 대한 균일한 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 해리만 추정을 증명한다.
• 스톤 공식을 이용해 해리만 추정을 스펙트럼 측도 추정과 연결함으로써 스펙트럼 승수 결과를 도출한다.
• 한계 흡수 원리와 컴팩턴스 추론을 적용해 분수 경우의 $(-\Delta)^\alpha + V$의 해리만을 분석한다.
• 로렌츠 공간 이론과 가중 추정을 활용하여 켄니그-루이즈-소지의 결과를 변형된 설정으로 확장한다.
• 횔더 부등식과 섭동 이론을 사용해 $L^p$-연산자 노름에서 $H - z$의 해리만을 제어한다.
• 프레드홀름 이론과 릴리히의 컴팩턴스 정리를 적용해, 특이 스펙트럼이 존재할 수 있는 르베그 측도가 0인 스펙트럼 집합 $E$의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 정규성 조건 하에서 $V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ 인 슈뢰딩거 연산자에 대해 $L^p$-유형의 한계 흡수 원리를 $\lambda_0 = 0$ 인 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ2 영점이 정규 스펙트럼 점인 경우, 균일한 $L^p$ 해리만 추정이 성립하는 $p$의 날카운 범위는 무엇인가?
• RQ3 균일한 해리만 추정이 $H = -\Delta + V$에 대해 날카운 스펙트럼 승수 정리와 보흐너-리츠 경계를 어떻게 이끌어내는가?
• RQ4 분수 슈뢰딩거 연산자 $(-\Delta)^\alpha$에 대한 균일한 하디-리틀우드-소볼레프 부등식을 $(-\Delta)^\alpha + V$의 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ5 임베디드 고유값이 존재하지 않으며, 영점에서 스펙트럼 측도가 정규적인 것을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 스펙트럼 정규성 조건 하에서 $V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ 이고 $L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$에서의 영점 정규성이 만족될 경우, $\lambda > 0$에 대해 균일한 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 해리만 추정 $\sup_{0<\epsilon<1}\|(-\Delta + V - (\lambda + i\epsilon))^{-1}\|_{L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}-L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}}} \leq C\lambda^{-\frac{1}{n+1}}$ 이 성립한다.
• $H = -\Delta + V$에 대해 날카운 허르망더 유형의 스펙트럼 승수 정리가 수립되며, 스펙트럼 측도 노름이 $C\lambda^{-\frac{1}{n+1}}$ 이하로 유계임을 보인다.
• 연관된 보흐너-리츠 연산자가 $\frac{2(n+1)}{n+3} \leq p \leq \frac{2(n+1)}{n-1}$ 범위에서 $L^p$ 유계성을 만족하며, 이는 해리만 추정의 범위와 정확히 일치한다.
• 분수 슈뢰딩거 연산자 $H = (-\Delta)^\alpha + V$에 대해 $0 < 2\alpha < n$ 인 경우, 균일한 하디-리틀우드-소볼레프 부등식이 다음 형태로 증명된다: $\|(H - z)^{-1}\|_{L^p - L^{p'}} \leq C|z|^{\frac{n}{2\alpha}(\frac{1}{p} - \frac{1}{p'}) - 1}$, $\max(\frac{2\alpha}{n}, \frac{n+3}{2(n+1)}) < \frac{1}{p} \leq \frac{n+2\alpha}{2n}$.
• $\|V\|_{L^{\frac{n}{2\alpha}}} \leq c_0$ 이고 충분히 작은 $c_0 > 0$ 이면, $H = (-\Delta)^\alpha + V$의 해리만이 균일한 $L^p$-연산자 유계성을 만족한다.
• $(-\Delta)^m + V$의 특이 스펙트럼은 $\mathbb{R}$의 르베그 측도가 0인 집합 $E \subset \mathbb{R}$에 포함되며, 해리만은 $\mathbb{C}_+ \setminus \{0\} \setminus E$에서 연속이며, $\mathbb{R} \setminus E \setminus \{0\}$의 컴팩트 부분집합에서 균일한 유계성을 가진다.