[논문 리뷰] Remarks on nonrelativistic Goldstone bosons

Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 02.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions참고 문헌 7인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 시간역전대칭이 약간 깨질 때 진짜 골드스톤 보손과 함께 나타나는 '거의 골드스톤 보손'(gapped modes)을 규명함으로써 비상대론적 골드스톤 보손에 대한 효과적 장 이론 접근법을 정교화한다. 이는 골드스톤 보손과 거의 골드스톤 보손의 총 수가 붕괴된 생성자 수 $ N $ 과 일치함을 증명하며, 이 수는 교환자 행렬 $ B $ 의 질량수에 의해 결정된다. 이는 타입 A 골드스톤 보손이 타입 B 골드스톤 보손과 거의 골드스톤 상태로 쌍을 이루는 물리적 메커니즘을 제공함으로써, 와타나베-브라우너 수세기 규칙을 설명한다.

ABSTRACT

We discuss excitations in nonrelativistic field theories with spontaneous breaking of a continuous global symmetry. It is known that in such systems there are two types of Goldstone bosons (Type A and Type B) whose dispersion law is generically linear or quadratic, respectively. We show that Type B Goldstone bosons may have gapped partners which we call almost-Goldstone bosons. With some nondegeneracy assumption about the low-energy effective action, the total number of Goldstone and almost-Goldstone bosons adds up to the number of broken symmetry generators. We propose that deviations of the dispersion law of Goldstone bosons from linearity at small momenta may serve as a signature of small breaking of time-reversal symmetry.

연구 동기 및 목표

• 비상대론적 시스템에서 연속 대칭의 자동으로 붕괴되었을 때 타입 I (A) 및 타입 II (B) 골드스톤 보손의 기원과 수를 명확히 하기.
• 시간역전대칭이 약간 깨질 때 효과적 작용에 나타나는 고립된 '거의 골드스톤 보손'을 식별하고 특성화하기.
• 두 개의 타입 A 골드스톤 보손이 한 개의 타입 B 골드스톤 보손과 한 개의 거의 골드스톤 보손으로 쌍을 이루는 물리적 메커니즘을 제공함으로써 질량수 기반 수세기 규칙 $ n_A = N - \text{rank}\,B $, $ n_B = \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 를 설명하기.
• 비퇴직적 목표 공간 계량 조건 하에서, 금속 및 고립된 모드의 총 수가 붕괴된 생성자 수 $ N $ 과 일치함을 보여주기.

제안 방법

• 시간 1차 및 2차 도함수 항을 포함하는 순서 매개변수 장 $ \phi $ 의 일阶 효과적 작용을 수립함으로써, 이전 접근법을 일반화하여 $ A_i $ 항의 공간 도함수 의존성을 允허한다.
• 운동량을 재정의하기 위해 캐논ical 변환을 도입하여, 수정된 해밀토니언 밀도를 포함하는 표준 해밀토니안 형태로 작용을 변환한다. 이 밀도는 역계량 $ G^{ij} $ 과 가우지 유사 항 $ A_i $ 를 포함한다.
• 일정한 진공 주위에서 해밀토니언을 2차 항까지 전개하여, 변동에 대한 2차 형식을 유도하며, 이는 $ B_{ik}(-i\nabla) $ 와 $ \Omega^2_{ij}(-i\nabla) $ 를 포함하는 행렬 형태를 가진다.
• 운동량 공간에서 2차 해밀토니언의 스펙트럼을 분석하여 두 종류의 모드를 식별한다: 금속 골드스톤 모드 (타입 A) 와 고립된 거의 골드스톤 모드 (타입 B). 이들의 분산 관계는 행렬 $ B $ 의 고유값과 $ \Omega^2 $ 연산자의 고유값에 의해 결정된다.
• 거의 골드스톤 보손의 수가 $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 라는 것을 확립하고, 각 타입 A 골드스톤 보손 쌍이 한 개의 타입 B 골드스톤 보손과 한 개의 거의 골드스톤 보손으로 조합될 수 있음을 보여, 와타나베-브라우너 공식을 설명하는 물리적 메커니즘을 제공한다.
• 대칭 제약 조건을 고려하여, 만약 시간역전대칭이 정확히 유지된다면 타입 B 골드스톤 보손은 금지되나, 이 대칭이 약간 깨지면 일반적으로 존재함을 보여주며, 선형 분산에서의 편차는 이러한 깨짐의 징후로 작용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 골드스톤 모드 외에 효과적 작용에 나타나는 $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 개의 거의 골드스톤 보손의 기원은 무엇인가?
• RQ2 두 개의 타입 A 골드스톤 보손이 한 개의 타입 B 골드스톤 보손과 한 개의 거의 골드스톤 보손으로 쌍을 이루는 쌍화 메커니즘이 와타나베-브라우너 수세기 규칙을 어떻게 설명하는가?
• RQ3 시간역전대칭이 정확히 유지될 경우 타입 B 골드스톤 보손이 존재하지 않는 이유는 무엇이며, 그 존재는 대칭의 작은 깨짐을 어떻게 시사하는가?
• RQ4 1차원 공간에서 $ B $ 행렬이 0이 아니지만 영 모드가 물리적으로 불가능한 경우, 효과적 작용의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ5 특히 콤팩트 단순 비아벨 군에서 대칭이 대각선 부분군으로 또는 전혀 없어지게 깨질 경우, 타입 B 골드스톤 보손이 존재할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 효과적 작용은 금속 골드스톤 보손 외에도 고립된 '거의 골드스톤 보손'을 포함하며, 목표 공간 계량이 비퇴직적일 경우 이들의 수는 $ \frac{1}{2}\text{rank}\,B $ 이다.
• 금속 및 고립된 모드의 총 수는 붕괴된 생성자 수 $ N $ 과 일치하며, 저에너지 스펙트럼에서 모드의 완전한 수세기 결과를 확인한다.
• 각 타입 A 골드스톤 보손 쌍은 한 개의 타입 B 골드스톤 보손과 한 개의 거의 골드스톤 보손으로 쌍을 이룬다. 이러한 쌍의 수는 $ \text{rank}\,B $ 와 같으며, 이는 와타나베-브라우너 공식을 설명하는 물리적 메커니즘을 제공한다.
• 타입 B 골드스톤 보손의 분산 법칙은 $ \epsilon(\mathbf{q}) = K_{\alpha\beta}\mathbf{q}^\alpha\mathbf{q}^\beta + \cdots $ 이고, 거의 골드스톤 모드의 경우 $ \epsilon(\mathbf{q}) = 2b(0) + K_{\alpha\beta}\mathbf{q}^\alpha\mathbf{q}^\beta + \cdots $ 이며, 상수항 $ 2b(0) $ 는 고립된 성질을 나타낸다.
• 작은 운동량에서 선형 분산에서의 편차—특히 제곱형 스케일링—은 시간역전대칭의 작은 깨짐을 시사하는 징후이며, 이는 타입 B 골드스톤 보손의 존재를 허용한다.
• 1차원 공간에서 이론은 오른쪽으로 이동하는 입자를 기술할 수 있으며, 분산은 $ \epsilon(\mathbf{q}) = \mathbf{q}^m $ 이다. 비록 영 모드가 물리적으로 불가능하지만, 이론은 일관되며 진짜 골드스톤 모드가 없음에도 불구하고 여전히 '타입 A' 시스템을 기술한다.