[논문 리뷰] Remarks on Quantum Modular Exponentiation and Some Experimental Demonstrations of Shor's Algorithm

Zhengjun Cao, Zhenfu Cao외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 쇼어의 인수분해 알고리즘에서 표준 양자 모듈로 지수법칙을 비판하며, 슈어와 나이젤-차운의 서술이 초위상 상태에 적용되었을 때 오류가 있음을 주장한다. 기존에 보고된 쇼어 알고리즘의 실험적 구현 사례들 — 예를 들어 첫 번째 레지스터에 8개 이하의 큐비트를 사용해 15를 인수분해한 사례들 — 는 필수 조건인 $ n^2 \leq q < 2n^2 $ 를 위반하여, 알고리즘의 전체 양자 우월성을 입증하는 데 부적절하고 오해의 소지가 있다.

ABSTRACT

An efficient quantum modular exponentiation method is indispensible for Shor's factoring algorithm. But we find that all descriptions presented by Shor, Nielsen and Chuang, Markov and Saeedi, et al., are flawed. We also remark that some experimental demonstrations of Shor's algorithm are misleading, because they violate the necessary condition that the selected number $q=2^s$, where $s$ is the number of qubits used in the first register, must satisfy $n^2 \leq q &lt; 2n^2$, where $n$ is the large number to be factored.

연구 동기 및 목표

• 쇼어의 인수분해 알고리즘에서 사용되는 표준 양자 모듈로 지수법칙의 오류를 식별하고 수정하는 것.
• 첫 번째 레지스터에 충분한 큐비트를 사용하지 않은 실험적 구현 사례들이 쇼어 알고리즘의 타당성을 도전하는 것.
• 쇼어 알고리즘의 정확성을 확보하기 위해 필수적인 조건인 $ n^2 \leq q < 2n^2 $ (여기서 $ q = 2^s $) 를 명확히 하는 것.
• 나이젤-차운의 모듈로 지수법칙이 초위상 상태에 대해 효율적이지 않음을 보여주며, $ O(\log n) $ 가 아니라 $ O(q^2) $ 번의 연산이 필요하다는 점을 밝히는 것.
• 많은 보고된 실험적 구현 사례들이 기본적인 양자 계산 요구 조건을 위반하여 실제로는 유효한 시연가 아니라는 주장을 펼치는 것.

제안 방법

• 쇼어 알고리즘의 표준 양자 모듈로 지수법칙 과정을 분석하며, 변환 $ \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=0}^{q-1}|a\rangle|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=0}^{q-1}|a\rangle|x^a \mod n\rangle $ 에 초점을 맞춘다.
• 나이젤-차운의 방법이 $ a $ 의 이진 숫자를 기반으로 유니터리 연산을 적용하지만, 이는 $ O(q^2) $ 번의 연산을 요구하여 다항 시간 효율성의 필요 조건과 모순됨을 밝힌다.
• 연속 분수 전개 기법을 적용하여 $ q \geq n^2 $ 인 경우에만 $ c/q $ 가 $ d/r $ 로 신뢰성 있게 근사 가능하며, 여기서 $ r = \text{ord}_n(x) $ 라는 점을 보여준다.
• IBM 2001, 퀸즐랜드 대학교 2007, 우스티 2007, UCSB 2012 등의 쇼어 알고리즘 실험적 구현 사례를 검토하며 $ q = 2^s \geq n^2 $ 를 만족하는지 확인한다.
• 회로도에서의 개념적 오류를 지적하며, $ |C^x \mod N\rangle $ 를 순수 상태로 표현한 것을 초위상 상태 $ \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_x |C^x \mod N\rangle $ 로 표현해야 한다는 점을 강조한다.
• 식 $ \prod_{i=0}^{s-1}(1 + x^{2^i}) = \sum_{a=0}^{2^s - 1} x^a $ 를 사용하여, 고전적 다항식 항등식에서 양자 초위상 상태를 단순히 유도할 수 없다는 오해를 부각한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 쇼어와 나이젤-차운이 서술한 표준 양자 모듈로 지수법칙이 쇼어 알고리즘의 초위상 상태에 대해 부적절한가?
• RQ2 주어진 $ n $ 을 인수분해하기 위해 첫 번째 레지스터에 필요한 큐비트 수는 정확히 얼마인가?
• RQ3 왜 많은 실험적 구현 사례들이 필수 조건 $ n^2 \leq q < 2n^2 $ 를 충족하지 못하는가?
• RQ4 나이젤-차운의 모듈로 지수법칙이 왜 $ O(q^2) $ 번의 연산을 유도하여 다항 시간 실행 요구 조건과 모순되는가?
• RQ5 출판된 실험적 구현 사례에서 사용된 회로도와 상태 표현 방식에 존재하는 개념적 및 기술적 오류는 무엇인가?

주요 결과

• 쇼어와 나이젤-차운이 서술한 표준 양자 모듈로 지수법칙은 초위상 상태에 적용되었을 때 $ O(\log n) $ 가 아니라 $ O(q^2) $ 번의 연산이 필요하여 다항 시간 효율성 원칙을 위반하므로 오류가 있다.
• 쇼어 알고리즘이 정확히 작동하기 위해서는 첫 번째 레지스터의 큐비트 수 $ s $ 가 $ q = 2^s \geq n^2 $ 를 만족해야 하지만, 많은 실험적 구현 사례들이 이를 위반하여 이 조건을 충족하지 못한다.
• 2001년 IBM의 실험은 첫 번째 레지스터에 3개의 큐비트만 사용했으며 ($ n = 15 $), $ 2^3 = 8 < 225 = 15^2 $ 이므로 연속 분수 단계가 신뢰할 수 없고, 이는 유효하지 않다.
• 2007년 중국 과학기술대의 실험은 첫 번째 레지스터에 2개의 큐비트만 사용했으며 ($ n = 15 $), $ 2^2 = 4 < 225 $ 이므로 기본 요구 조건 $ q \geq n^2 $ 을 위반하여 유효하지 않다.
• 2012년 UCSB의 실험은 첫 번째 레지스터에 1개의 큐비트만 사용했으며 ($ n = 15 $), $ 2^1 = 2 < 225 $ 이므로 모듈로 산술을 의미 있게 표현할 수 없고, 근본적으로 오류가 있다.
• 다수의 실험 논문에서 두 번째 레지스터를 순수 상태 $ |C^x \mod N\rangle $ 로 잘못 표현했으며, 정확한 초위상 상태 $ \frac{1}{\sqrt{q}}\sum_x |C^x \mod N\rangle $ 여야 한다. 이는 양자 병렬 처리 메커니즘을 무효화한다.