[논문 리뷰] Remarks on scattering matrices for Schrödinger operators with critically long-range perturbations

Shu Nakamura|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 16.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임계적으로 장거리 포텐셜(V(x) = O(|x|^{-1}))을 가진 슈뢰딩거 연산자의 산산이 산란 행렬이 구면 S^{d-1} 위의 편미분 연산자임을 증명하고, 그 주요 기호를 명시적으로 계산하며, 스펙트럼 성질을 분석한다. 주요 기여는 원형 대칭 조건 하에서 산란 행렬이 밀도 순수 이산 스펙트럼을 가지며, 특정 2차원 예제에서는 절대 연속 스펙트럼을 갖는다는 것을 증명함으로써, 이전의 μ=1 장거리 산란 이론에서의 빈도를 메우는 데 있다.

ABSTRACT

We consider scattering matrix for Schrödinger-type operators on $\mathbb{R}^d$ with perturbation $V(x)=O(\langle x angle^{-1})$ as $|x| o\infty$. We show that the scattering matrix (with time-independent modifiers) is a pseudodifferential operator, and analyze its spectrum. We present examples of which the spectrum of the scattering matrices have dense point spectrum, and absolutely continuous spectrum, respectively.

연구 동기 및 목표

• 임계적으로 장거리 교란(μ=1)을 가진 슈뢰딩거 연산자에 대해 산란 행렬이 S^{d-1} 위의 편미분 연산자임을 확립하기.
• 산란 행렬의 주요 기호를 고전적 궤도를 따라 포텐셜의 적분으로 표현하기.
• 산란 행렬의 스펙트럼 성질을 분석하며, 특히 밀도 순수 이산 스펙트럼과 절대 연속 스펙트럼의 존재를 다루기.
• 이전 결과가 불완전했던 임계 경우 μ=1에 대해 정교한 분석을 제공함으로써 문헌의 빈도를 메우기.

제안 방법

• 장거리 교란의 맥락에서 산란 행렬을 정의하기 위해 시간에 의존하지 않는 수정자 사용.
• 편미분 연산자 계산법을 적용하여 S(λ)가 S^{d-1} 위의 편미분 연산자이며 특정 기호 전개를 가짐을 보임.
• 에너지 λ와 방향 ξ로 매개화된 직선 궤도를 따라 포텐셜의 적분을 통해 주요 기호 유도.
• 단위 편미분 연산자의 함수 해석학을 활용해 스펙트럼 성질 분석.
• 점근 전개와 교환자 추정을 사용해 산란 진동을 근사하는 쌍대 연산자 구축.
• 단위 연산자에 대한 Kuroda-Birman 정리를 적용하여 추적 클래스 교란이 절대 연속 스펙트럼의 스펙트럼 불변성과 관련됨을 밝힘.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계적인 μ=1 장거리 포텐셜을 가진 슈뢰딩거 연산자의 산란 행렬은 구면 S^{d-1} 위의 편미분 연산자인가?
• RQ2 이 임계 경우에서 산란 행렬의 주요 기호의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 산란 행렬이 밀도 순수 이산 스펙트럼을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ4 특정 포텐셜에 대해 2차원에서 산란 행렬의 절대 연속 스펙트럼을 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ5 소규모 하위순서 교란 하에서 산란 행렬의 스펙트럼 성질은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 산란 행렬 S(λ)는 주요 기호 s₀(λ,x,ξ) = exp(−i(2λ)^{-1/2} ∫_{-∞}^{∞} (V(x+tξ)−V(tξ)) dt)를 가진 S^{d-1} 위의 편미분 연산자이다.
• 주요 기호 s₀(λ,x,ξ)는 임의의 δ>0에 대해 기호 클래스 S^δ_{1,0}(T^*S^{d-1})에 속하며, S(λ)−s₀는 S^{-1+δ}_{1,0}에 속한다.
• 원형 대칭 조건과 큰 |x|에서 |x·∂ₓV(x)| ≥ c|x|^{-1}을 만족할 경우, 산란 행렬은 전체 단위 원 위에 밀도 순수 이산 스펙트럼을 가진다.
• d=2 이고 V(x) = a x₁ / ⟨x⟩² (a≠0)일 경우, S(λ)의 본질적 스펙트럼은 {e^{iθ} : |θ| ≤ |a|π(2λ)^{-1/2}}인 호이며, 보완 부분에는 절대 연속 스펙트럼이 존재한다. 유일한 예외는 끝점일 수 있다.
• 절대 연속 스펙트럼은 소규모 하위순서 교란 하에서도 안정적이며, 고유값은 오직 끝점 e^{±iπa(2λ)^{-1/2}}에서만 집적이 가능하다.
• 추적 클래스 교란 하에서 절대 연속 스펙트럼의 스펙트럼 불변성은 단위 연산자에 대한 Kuroda-Birman 정리의 응용을 통해 확립된다.