[논문 리뷰] Remarks on solitary waves and Cauchy problem for a Half-wave-Schrödinger equations

Yakine Bahri, Slim Ibrahim외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 02.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 공간 차원에서 반파동-슈뢰딩거 방정식에 대해 지상 상태 고립파의 존재성과 궤도 안정성을 확립하며, 속도가 1에 접근함에 따라 영이 되는 운동파의 존재성을 증명하고, $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$에 속하는 초기 자료를 다루는 코쉬 문제를 비표준 스케일링과 에너지 공간을 고려한 임계 정(regularity) 영역에서 변분 방법과 수축 사상 원리에 기반하여 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the solitary wave and the Cauchy problem for Half-wave-Schrödinger equations in the plane. First, we show the existence and orbital stability of the ground states. Secondly, we prove that traveling waves exist and converge to zero as the velocity tends to $1$. Finally, we solve the Cauchy problem for initial data in $L^{2}_{x}H^{s}_{y}(\mathbb{R}^{2})$, with $s>\frac{1}{2}$.

연구 동기 및 목표

• 혼합 소볼레프 공간에서 제약 최소화를 통해 반파동-슈뢰딩거 방정식의 지상 상태 해의 존재성을 확립한다.
• 농도-압축 원리와 Cazenave 및 Lions의 방법을 사용하여 지상 상태 궤도의 궤도 안정성을 증명한다.
• 속도가 상대론적 한계인 1에 접근함에 따라 운동파 해의 존재성과 점점 줄어드는 행동을 조사한다.
• 비표준 스케일링과 에너지 공간을 고려한 임계 정(regularity) 영역에서, $s > 1/2$ 인 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$에 속하는 초기 자료에 대해 코쉬 문제의 국소 잘 정의됨을 해결한다.

제안 방법

• 타원 방정식 (1.3)의 변분 구조를 활용하여 제약 조건 $\mathcal{N}_\omega(u) = 0$ 하에서 함수 $\mathcal{S}_\omega(u)$ 의 최소화자로 지상 상태 $Q_\rho$ 를 구성하기 위해 제약 최소화 문제를 적용하였다.
• 농도-압축 원리와 Cazenave 및 P.-L. Lions의 방법을 적용하여 $L^2$-비하위 영역($1 < p < 7/3$)에서 지상 상태 궤도의 궤도 안정성을 증명하였다.
• 스케일링 추론과 은둔 함수 정리(implicit function theorem)를 사용하여, $v \to 1^-$일 때 0으로 수렴하는 $\psi(t,x,y) = e^{i\omega t}Q_\omega(x - vt, y)$ 형태의 운동파 해의 존재성을 보였다.
• 적절한 함수 공간에서 수축 사상 원리를 통해 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$에 대해 $s > 1/2$ 인 경우 국소 잘 정의됨을 확립하였으며, 이는 스트리카르츠 추정과 초기 자료 노름에 대한 짧은 시간 의존성에 기반한다.
• 푸리에 승수 이론과 Lizorkin 및 Esfahani 등에 의한 정규성 결과를 활용하여 지상 상태 $Q_\omega$ 가 에너지 공간 $X = H^1_x L^2_y \cap L^2_x H^{1/2}_y(\bbR^2)$ 에 속한다는 것을 증명하였다.
• Brezis-Lieb 보조정리와 컴팩턴스 도구를 활용하여 최소화 수열의 수렴성을 다루고, 점별 거의 everywhere 수렴 하에서 $|u_n|^{p+1}$ 이 $L^1$ 에서 강한 수렴성을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반파동-슈뢰딩거 방정식에 대해 $\bbR^2$ 에서 $1 < p < 5$ 인 경우 지상 상태 고립파 해가 존재하는가?
• RQ2 $L^2$-비하위 영역에서 방정식의 흐름 하에서 지상 상태 해의 궤도가 궤도 안정적인가?
• RQ3 운동파 해가 존재하는가? 그리고 속도가 1에 접근함에 따라 그 행동은 어떠한가?
• RQ4 $s > 1/2$ 인 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 에 속하는 초기 자료에 대해 코쉬 문제가 국소적으로 잘 정의되는가?
• RQ5 이방향 에너지 공간 $X$ 에서 지상 상태 해의 정규성과 감쇠 행동은 어떠한가?

주요 결과

• $1 < p < 5$ 이고 $\omega > 0$ 인 경우, 제약 조건 $\mathcal{N}_\omega(u) = 0$ 하에서 함수 $\mathcal{S}_\omega(u)$ 를 최소화하는 비자명한 지상 상태 $Q_\omega \in X$ 가 존재하며, 이는 변분 방법에 의해 존재성이 입증된다.
• $L^2$-비하위 영역($1 < p < 7/3$)에서 궤도 $\mathcal{O}_\omega = \{ e^{i\theta} Q_\omega(\cdot + \tau_1, \cdot + \tau_2) \}$ 는 공간 $X$ 에서 궤도 안정적이다.
• 모든 속도 $v \in (0,1)$ 에 대해 운동파 해가 존재하며, $v \to 1^-$ 일 때 $\|Q_v\|_{X} \to 0$ 를 만족하여 상대론적 한계에서 진폭이 사라짐을 나타낸다.
• 초기 자료가 $L^2_x H^s_y(\bbR^2)$ 에 속하고 $s > 1/2$ 인 경우, (1.1)의 코쉬 문제는 국소적으로 잘 정의되어 있으며, 최대 존재 시간 $T$ 는 초기 자료 노름에 대해 연속적으로 의존한다.
• 지상 상태 $Q_\omega$ 는 에너지 공간 $X$ 에 속하며, 푸리에 승수 추정과 Lizorkin의 승수 정리에 의한 $L^2$-유계성 활용을 통해 정규성이 확립된다.
• $p > 7/3$ 인 경우, 함수 $R_1 = \partial_\omega Q_\omega|_{\omega=1}$ 는 $L^2(\bbR^2)$ 에 속하며, 이는 스케일링 하에서 지상 상태의 정규성을 증명하는 데 필수적이다.