[논문 리뷰] Remarks on the mathematical origin of wave mechanics and consequences for a quantum mechanics in a gravitational field

Mayeul Arminjon|ArXiv.org|2002. 03. 28.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 현대 파동 이론을 통해 파동 역학의 수학적 근원을 재해석하며, 혼합된 운동량-위치 항을 포함하더라도 고전적 해밀토니안과 양자 파동 방정식 사이의 대응관계가 모호하지 않음을 보여준다. 이는 중력장 내에서 일관된 양자역학을 수립하기 위해서는 선호되는 기준좌표계가 필요하며, 이는 양자중력 이론의 필요성이 없을 수 있음을 암시한다.

ABSTRACT

According to Schroedinger's ideas, classical dynamics of point particles should correspond to the " geometrical optics " limit of a linear wave equation, in the same way as ray optics is the limit of wave optics. It is shown that, using notions of modern wave theory, the " geometrical optics " analogy leads to the correspondence between a classical Hamiltonian H and a " quantum " wave equation in a natural and general way. In particular, the correspondence is unambiguous also in the case where H contains mixed terms involving momentum and position. In the line of Schroedinger's ideas, it is also attempted to justify the occurrence, in QM, of eigenvalues problems, not merely for energy, but also for momentum. It is shown that the wave functions of pure momentum states can be defined in a physically more satisfying way than by assuming plane waves. In the case of a spatially uniform force field, such momentum states have a singularity and move undeformed according to Newton's second law. The mentioned unambiguous correspondence allows to uniquely extend the Klein-Gordon relativistic wave equation to the case where a constant gravitational field is present. It is argued that Schroedinger's wave mechanics can be extended to the case with a variable gravitational field only if one accepts that the wave equation is a preferred-frame one. From this viewpoint, generally-covariant extensions of the wave equations of QM seem rather formal. Finally, it is conjectured that there is no need for a quantum gravity.

연구 동기 및 목표

• 기초적인 양자역학의 공리적 접근을 넘어서 현대 파동 이론을 활용해 파동 역학의 수학적 기초를 재구축한다.
• 운동량과 위치가 혼합된 경우에도 고전적 해밀토니안과 양자 파동 방정식 사이의 대응관계에서 발생하는 모호함을 해결한다.
• 파동 역학 원리에 기반해 양자역학의 고유값 문제를 에너지 뿐 아니라 운동량에 대해서도 정당화한다.
• 고유한 비양자화된 중력장 프레임워크 내에서 켈린-고르돈 방정식을 일관적으로 확장한다.
• 곡률이 있는 시공간 내에서 양자역학이 중력의 양자화 없이 일관되게 구성될 수 있는지 조사한다. 이는 선호되는 기준좌표계에 기반한다.

제안 방법

• 선형 매질 내의 분산 관계 이론을 적용하여 고전적 해밀토니안과 선형 파동 방정식 사이의 일대일 대응관계를 유도한다.
• 기하광학적 유사성을 사용하여, 혼합된 p-x 항이 존재하더라도 고전적 궤적이 파동 방정식의 광선 해로서 도출됨을 보여준다.
• 파동 군속도의 균일성, 분산 관계 준수, 시간에 의존하는 셰르딩거 방정식 준수를 통해 순수 운동량 상태를 정의한다. 평면파 가정 외의 방식으로 정의한다.
• 동일한 대응 원칙을 유지하면서 켈린-고르돈 방정식을 일관되게 일정한 중력장으로 확장한다.
• 중력역학에 대해 선호되는 기준좌표계( macro-ether )를 가정하며, 중력이 매크로스코픽 압력구배로 간주되는 스칼라 중력 이론과 일관된다.
• 파동 역학 원리로부터 곡률이 있는 시공간 내 파동 방정식을 유도하며, 일관성을 유지하기 위해 선호되는 기준좌표계의 존재가 필요하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 해밀토니안과 양자 파동 방정식 사이의 대응관계가 혼합된 운동량-위치 항을 포함하더라도 명확하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 평면파를 가정하는 것 외에 더 물리적으로 의미 있는 방식으로 양자역학 내 순수 운동량 상태를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 켈린-고르돈과 같은 상대론적 파동 방정식을 비틀림 없이 일관되게 일정한 중력장으로 확장할 수 있는가? 이는 파동 역학 원칙을 위반하지 않는다.
• RQ4 중력장 내에서 양자역학은 선호되는 기준좌표계가 필요하며, 일반적 공변성에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 고전적, 매크로스코픽 중력장에 기반해 중력의 양자화 없이 곡률이 있는 시공간 내에서 일관된 양자역학을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 고전적 해밀토니안과 양자 파동 방정식 사이의 대응관계는 기하광학 근사에서 유일하게 결정되며, 해밀토니안에 혼합된 운동량-위치 항이 포함되어 있어도 마찬가지다.
• 파동 역학에서 순수 운동량 상태는 평면파를 가정하는 것 외에 군속도의 균일성, 분산 관계 준수, 셰르딩거 방정식에 의한 시간 진화를 통해 가장 잘 정의된다.
• 켈린-고르돈 방정식은 동일한 대응 원칙을 유지하면서 일정한 중력장으로 일관되게 확장될 수 있다.
• 중력장 내에서 일관된 양자역학을 확장하기 위해서는 물리적으로 선호되는 기준좌표계의 존재가 필요하며, 이는 일반 공변성과 모순된다.
• 파동역학적으로 유도된 파동 방정식과 곡률이 있는 시공간 내 방정식 사이의 역학적 불일치는 근본적인 갈등을 암시하며, 이는 양자역학의 수정이 필요할 수 있음을 시사한다.
• 저자는 양자중력 이론이 불필요하다고 추측한다. 중력은 미세한 소용돌이의 통계적 행동에서 기인하는 고전적, 매크로스코픽 효과일 수 있다.