[논문 리뷰] Remarks on the rigidity of CR-manifolds

Sung‐Yeon Kim, Dmitri Zaitsev|ArXiv.org|2005. 01. 23.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가산 밀도 부분군을 갖는 $S^1$의 부분군을 CR-자기동형사상군으로 가지는 특정한 조건을 만족하는 매끄러운 CR-다양체를 구성함으로써, 국소 안정성 군이 리군이 아닌 매끄러운 CR-다양체를 제시한다. 잔여 공간에서의 변형 기법과 군-불변 구조를 사용하여, 이러한 다양체가 강한 준볼록성 조건을 만족하는 경우에도 존재하며, 실해석적 CR-다양체와 CR-동치가 아니라는 것을 보인다.

ABSTRACT

A method is proposed to obtain examples of smooth CR-manifolds whose local stability group is neither a Lie group nor infinite-dimensional.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 CR-다양체의 국소 안정성 군이 강한 기하 조건(강한 준볼록성)을 만족하더라도 리군이 아닐 수 있음을 보이기.
• 가산 밀도 부분군을 갖는 $S^1$의 부분군(예: $\{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\}$)과 동형인 국소 CR 안정성 군을 갖는 매끄러운 일반적 부분다양체를 구성하기.
• 유한 타입과 유한 비퇴화성 조건을 만족하더라도 이러한 다양체가 실해석적 CR-다양체와 CR-동치가 아니라는 것을 보이기.
• 군-불변 변형을 통한 잔여 공간에서의 일반적 방법을 제시하여, 국소 CR 자기동형사상군이 사전에 지정된 조건을 만족하는 매끄러운 CR-다양체를 체계적으로 생성하기.

제안 방법

• 유한 타입인 점 $p$에서 주어진 매끄러운 일반적 부분다양체 $M$을 잔여 공간에서의 귀납적 구성 기법을 사용해 변형한다.
• 이웃 영역 $V_k$, 집합 $X_k$, 그리고 변형된 부분다양체 $M_k$를 정의하여, $M_k$가 특정 궤도 폐쇄를 피하면서도 무한 차수의 접촉을 유지하도록 한다.
• 군 $G$의 유한 부분군인 $G_k$에 대해 $g \in G_k$이면 $g(M \cap V_k)$를 $g(M_k \cap V_k)$로 대체하여 새로운 부분다양체 $\widetilde{M}$을 구성한다.
• 변형의 크기를 $\varepsilon_k$, $\delta_k$, $\eta_k$로 조절하여 $\widetilde{M}$이 점 $p$에서 $M$과 무한 차수로 접촉하도록 하되, 유한 타입 조건을 유지한다.
• 도함수의 추정과 단사성 반경의 성질을 이용하여, $\widetilde{M}$의 모든 CR-자기동형사상이 변형된 구조를 유지해야 하며, 따라서 군 $G$에 속해야 한다고 보여준다.
• 변형된 집합 $N_k$의 강성과 궤도 폐쇄의 피하기 조건을 활용하여, $\widetilde{M}$을 보존하는 것은 군 $G$의 원소들뿐임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 준볼록성과 같은 강한 기하 조건을 만족하더라도 매끄러운 CR-다양체의 국소 안정성 군이 리군이 아닐 수 있는가?
• RQ2 국소 CR 자기동형사상군이 $S^1$의 가산 밀도 부분군과 동형인 매끄러운 일반적 부분다양체를 구성할 수 있는가?
• RQ3 유한 타입과 유한 비퇴화성 조건을 만족하더라도 이러한 다양체가 실해석적 CR-다양체와 CR-동치가 아니게 될 수 있는가?
• RQ4 지정된 비리군 국소 자기동형사상군을 갖는 매끄러운 CR-다양체의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 잔여 공간에서 군-불변 변형을 통해 이러한 다양체를 어떻게 시스템적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 2$에 대해, $\mathbb{C}^n$ 내에 존재하는 매끄러운 강한 준볼록성 초곡면 중에서 국소 안정성 군이 $S^1$의 가산 밀도 부분군인 $\{e^{2\pi i l/2^m} : l,m \in \mathbb{N}\}$와 동형인 것이 존재한다. 이 군은 리군이 아니다.
• 구성된 다양체 $\widetilde{M}$의 국소 CR 안정성 군 $\mathrm{Aut}_{\rm CR}(\widetilde{M},p)$는 $G$와 동형이며, 이는 $S^1$의 가산 밀도 부분군이므로 리군이 아니다.
• 구성된 다양체 $\widetilde{M}$은 점 $p$에서 원래의 $M$과 무한 차수로 접촉하며, 유한 타입과 일반성 조건을 유지한다.
• 국소 CR 자기동형사상군은 정확히 $G$이며, 이보다 더 큰 군이 될 수 없다. 이는 변형된 집합의 강성과 궤도 폐쇄 피하기 조건 때문이므로.
• 이러한 구성은 원래의 $M$이 실해석적이고 $G$-불변일지라도, 실해석적 CR-다양체와 CR-동치가 되지 않는 다양체를 생성한다.
• 이 방법은 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C}^n,p)$의 유한 부분군들의 증가하는 가산 합집합인 군 $G$에 대해, 유한 타입, 유한 비퇴화성, $G$-불변 성질을 만족하는 임의의 점의 국소 형태에 적용 가능하다.