[논문 리뷰] Removable singularities for degenerate elliptic Pucci operators

Giulio Galise, Antonio Vitolo|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 차수 $p$의 열악한 타원형 Pucci 방정식의 점성 해에 대한 확장된 최대원리와 제거 가능성 결과를 수립한다. 여기서는 고전적 Pucci 연산자를 일반화하는 새로운 종류의 완전 비선형 연산자 클래스를 도입한다. 주요 기여는 영역의 용량이 0인 특이 집합 위를 통해 해가 연속적으로 연장될 수 있는 조건을 제시하는 것으로, 기울기 항이 존재하는 극도로 열악한 경우에도 최대원리가 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we introduce some fully nonlinear second order operators defined as weighted partial sums of the eigenvalues of the Hessian matrix, arising in geometrical contexts, with the aim to extend maximum principles and removable singularities results to cases of highly degenerate ellipticity.nn

연구 동기 및 목표

• 극도로 열악한 타원형 Pucci 방정식에 대한 최대원리와 제거 가능성 결과를 완전 비선형 열악한 타원형 방정식으로 확장한다.
• 고전적 Pucci 연산자를 일반화하고 잘린 라플라스 연산자를 포함하는 차수 $p$의 Pucci 유형 연산자 신규 클래스를 도입한다.
• 용량이 0인 특이 집합 $E$ 위를 통해 유계 하위해의 부호가 어떻게 전파되는지 조건을 설정한다.
• 기울기 항 $b|Du|$가 $b$가 크면 최대원리가 무너지는 방식을 분석한다. 특히 $p < n$ 인 열악한 경우를 중심으로 다룬다.
• 용량이 0인 닫힌 집합 $E$ 외부에서 정의된 하위해가 $E$ 위를 통해 점성 해로 연장될 수 있음을 증명한다.

제안 방법

• 헤시안 행렬 $X$의 $p$개의 가장 큰 또는 가장 작은 고유값의 가중합으로 정의된 열악한 Pucci 연산자 $\mathcal{P}^{\pm}_{\lambda,\Lambda|p}(X)$를 정의한다.
• Pucci 연산자, 기울기 항 $b|Du|$, 영차수 항 $-cu$를 포함하는 비선형성 $F$에 대한 구조 조건 (6)을 도입한다.
• 원점에서 발산하고 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 에서 $\mathcal{P}^{+}_{\lambda,\Lambda|p}(D^2\Phi) = 0$ 를 만족하는 기본 해 $\Phi_{\alpha^*}(x)$ 를 사용하여 장벽 함수를 구성한다.
• $\alpha^* = \frac{\lambda}{\Lambda}(p-1) - 1 \geq 0$ 를 통해 정의된 $\alpha^*$-용량을 사용한 용량 이론을 적용하며, $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 에 대해 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ 이어야 한다.
• 특이 집합 $E$ 위를 통해 하위해 $u(x)$ 의 상한 및 하한 상연속 확장 $U(x)$ 와 $V(x)$ 를 정의하고, 안정성 및 비교 원리를 적용하여 $E$ 에서 $U = V$ 를 보인다.
• 확장된 비교 원리(보조정리 5.2)를 활용하여 $U$ 와 $V$ 가 전체 영역 $\Omega$ 에서 점성 해임을 결론 내리며, 제거 가능성 원리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 집합 $E$ 에 대해 어떤 조건이면 차수 $p$ 의 열악한 타원형 Pucci 방정식에 대해 최대원리가 확장될 수 있는가?
• RQ2 기울기 항 $b|Du|$ 가 존재할 경우, $p < n$ 인 열악한 경우 최대원리의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 용량이 0인 닫힌 집합 $E$ 외부에서 정의된 점성 하위해는 $E$ 위를 통해 전체 점성 해로 연장될 수 있는가?
• RQ4 기본 해 $\Phi_{\alpha^*}$ 는 장벽을 구성하고 제거 가능성 원리를 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 에 대해 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ 인 용량 조건은 열악한 Pucci 방정식에서 특이 집합의 제거 가능성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 용량이 0인 조건 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ 이 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 에 대해 성립하고 $\alpha^* = \frac{\lambda}{\Lambda}(p-1) - 1 \geq 0$ 이면, $\mathcal{P}^{+}_{\lambda,\Lambda|p}(D^2u) + b|Du| - cu \geq f(x)$ 에 대한 유계 하위해에 대해 확장된 최대원리가 성립한다.
• 경우 $c = 0$ 에서는 $b\delta < \lambda p$ 이면 최대원리가 성립하며, 이때 $\delta$ 는 $\Omega$ 를 포함하는 구의 반지름이다. 이는 기울기 항이 지배하지 않음을 보장한다.
• $c > 0$ 인 경우, 모든 $b \geq 0$ 에 대해 최대원리가 성립하며, 추정식의 상수 $C$ 는 $c$ 에 따라 달라진다.
• $0 \leq \alpha < \alpha^*$ 에 대해 $\sup_{\Omega}u \leq \limsup_{y \to E'} u(y) + C\|f^-–\|_{\infty}$ 이 성립하며, $\alpha = \alpha^*$ 이고 $b = 0$ 이면 이 식이 성립한다.
• 제거 가능성 결과(정리 1.2)가 확립된다: $u$ 가 $\Omega \setminus E$ 에서 위로 유계인 점성 하위해이고 $\mathrm{Cap}_{\alpha}(E) = 0$ 이 $\alpha \in [0, \alpha^*]$ 에 대해 성립하면, $u$ 는 $\Omega$ 에서 유일하게 점성 해로 연장된다.
• 증명은 특이 집합 $E$ 위를 통해 $u$ 의 상한 및 하한 상연속 확장 $U$ 와 $V$ 를 구성하고, 비교 원리를 통해 $U = V$ 를 보이며, $U$ 가 $\Omega$ 에서 점성 해임을 결론 내린다.