[논문 리뷰] Removal of Quantifiers by Elimination of Boundary Points

Eugene Goldberg, Panagiotis Manolios|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 08.

Formal Methods in Verification참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계점 제거와 해석 문장(D-sequents)을 통해 부울 CNF 공식에 대한 새로운 양자소거 방법을 제안한다. 이 방법은 제거 가능한 모든 경계점을 제거할 때까지 종료되며, 이를 통해 구성성과 확장성을 확보하고, 절의 폭발을 크게 줄이며, 모델 체킹 벤치마크에서 기존 방법보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

We consider the problem of elimination of existential quantifiers from a Boolean CNF formula. Our approach is based on the following observation. One can get rid of dependency on a set of variables of a quantified CNF formula F by adding resolvent clauses of F eliminating boundary points. This approach is similar to the method of quantifier elimination described in [9]. The difference of the method described in the present paper is twofold: {\bullet} branching is performed only on quantified variables, {\bullet} an explicit search for boundary points is performed by calls to a SAT-solver Although we published the paper [9] before this one, chrono- logically the method of the present report was developed first. Preliminary presentations of this method were made in [10], [11]. We postponed a publication of this method due to preparation of a patent application [8].

연구 동기 및 목표

• 만족 할 수 있는 할당을 나열하거나 과도한 해석 문장을 생성하는 데 의존하는 기존 QEP 솔버의 비효율성과 구성성 부족 문제를 해결하기 위해.
• 공식 크기의 지수적 증가를 피하면서도 정확성을 보장하는 QEP에 대한 종료 조건을 개발하기 위해.
• 제거 가능한 경계점들을 식별하고 제거하여 재귀 변수를 제거함으로써 구성성 있는 QEP 해결을 가능하게 하기 위해.
• D-서열을 통해 하위공식들 사이에서 변수의 중복성을 기록하고 전파하는 공식적 메커니즘을 도입하기 위해.
• 특히 모델 체킹에서 하드웨어 및 소프트웨어 검증 작업의 확장성과 성능을 향상시키기 위해.

제안 방법

• CNF 공식 F(X,Y)에서 X′-경계점, 즉 완전한 할당이 F를 거짓으로 만들며, 모든 거짓인 절에 X′의 변수가 포함되며, X′의 부분집합들에 대해 최소성 조건이 만족되는 점을 식별한다.
• X에 속한 변수들을 뒤집는 것으로도 F의 만족 할 수 있는 할당을 얻을 수 없을 경우, 해당 경계점은 제거 가능하다. 이러한 점들은 X′에 속한 변수를 포함하지 않는 해석 문장을 추가하여 제거한다.
• 알고리즘은 양자화된 변수 X에 대해서만 분할을 수행하며, 경계점을 명시적으로 탐색하기 위해 SAT 솔버를 사용한다.
• F, X′, q → X′′ 형태의 D-서열을 유지하고 유도한다. 여기서 q는 X에 대한 부분 할당이며, q가 적용된 후 F에서 X′′에 속한 변수들이 중복됨을 기록한다.
• 제거 가능한 X′-경계점이 더 이상 남아 있지 않을 때 알고리즘이 종료되며, 이때 X에 속한 변수를 포함하는 모든 절을 제거하여 최종 공식 F*(Y)를 얻는다.
• D-서열 프레임워크는 경계점이 하위공간에 존재하지 않을 때 하위공식들을 독립적으로 처리할 수 있도록 해, 구성성 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만족 할 수 있는 할당을 나열하는 데서 발생하는 지수적 증가를 피하면서도 정확성을 보장하는 QEP에 대한 종료 조건을 설계할 수 있는가?
• RQ2 경계점의 개념을 단일 변수를 넘어서 임의의 부분집합 X′ ⊆ X로 일반화할 수 있는가? 이를 통해 구성성 추론을 지원할 수 있는가?
• RQ3 의존성 서열(D-서열)을 사용하여 양자소거 과정에서 변수의 중복성을 공식적으로 기록하고 전파할 수 있는가?
• RQ4 경계점 제거와 D-서열을 기반으로 한 QEP 솔버가 실질적인 검증 작업에서 기존 방법보다 더 뛰어난 확장성과 성능을 발휘하는가?
• RQ5 이 새로운 방법이 BDD 기반 또는 해석 기반 솔버에 비해 구성성 행동을 얼마나 잘 유지하거나 향상시키는가?

주요 결과

• 제안된 DDS 알고리즘은 HWMCC’10 벤치마크에서 전방 모델 체킹에서 DP와 EnumSA보다 더 많은 벤치마크를 해결했으며, 후방 모델 체킹에서는 극적으로 더 많은 수를 처리했다.
• DDS_impl는 후방 모델 체킹에서 758개의 벤치마크를 해결했으며, EnumSA와 DP를 모두 능가했지만, 가장 복잡한 인스턴스를 처리하기 때문에 벤치마크당 평균 시간이 더 소요되었다.
• 이 방법은 구성성이 있다. 왜냐하면 하위공간에 제거 가능한 경계점이 없을 경우 하위공식들을 독립적으로 처리할 수 있기 때문이다. 이는 분해 가능한 공식들을 효율적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 경계점 제거를 통해 DP 절차에 비해 생성되는 해석 문장의 수를 줄여 효율성을 향상시켰다.
• D-서열 프레임워크는 변수의 중복성을 공식적이고 타당하며 종료 가능한 방식으로 도출할 수 있게 해, 만족 할 수 있는 할당의 완전한 나열이 필요 없도록 한다.
• 간단한 구현으로 진행된 초보적 실험 결과, 공식이 독립적인 하위공식들로 구성되어 있을 경우, 지수적 성능 향상이 관찰되었다.