[논문 리뷰] Renewal shot noise processes in the case of slowly varying tails

Zakhar Kabluchko, Alexander Marynych|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 천천히 변화하는 간격 시간 꼬리가 있는 재생 샷노이즈 과정의 약한 수렴을 확립하며, 천천히 변화하는 함수의 역함수를 포함하는 비선형 스케일링 후, 과정이 변환된 역극한 과정으로 유한차원 분포에서 수렴함을 보여준다. 핵심 결과는 한계 과정이 시간에 따라 변화하는 역스테이블 서브디퓨저임을 밝혀내며, 이 과정의 마진 분포는 거듭제곱 함수로 스케일링된 지수 랜덤 변수들로 분포함을 규명한다.

ABSTRACT

We investigate weak convergence of renewal shot noise processes in the case of slowly varying tails of the inter-shot times. We show that these processes, after an appropriate non-linear scaling, converge in the sense of finite-dimensional distributions to an inverse extremal process.

연구 동기 및 목표

• 간격 시간이 천천히 변화하는 꼬리를 가질 때 재생 샷노이즈 과정의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 비지수적, 무거운 꼬리가 있는 간격 시간 분포 하에서 이러한 과정의 약한 수렴에 관해 문헌에서의 격차를 메우기 위해.
• 천천히 변화하는 함수의 역함수를 기반으로 한 비선형 스케일링을 사용하여 이러한 과정에 대한 기능적 극한정리 수립하기 위해.
• 한계 과정을 시간에 따라 변화하는 역극한 과정으로 특성화하며, 명시적인 마진 및 증분 분포를 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 천천히 변화하는 꼬리가 있는 랜덤 워크에 대한 기능적 극한정리(특히 $ n^{-1}L(S_{[n\cdot]}) $ 가 $ M_1 $-위상에서 극한 과정 $ m(\cdot) $ 로 수렴함)를 사용한다.
• 천천히 변화하는 함수의 역함수 $ L^{\leftarrow} $ 를 이용한 비선형 시간 변화를 적용하여 시간 척도를 $ t \mapsto L^{\leftarrow}(tu) $ 로 변환함으로써, 중량 있는 꼬리 행동을 정규화한다.
• 샷노이즈 과정 $ Y(t) $ 는 $ t \cdot h(L^{\leftarrow}(t)) $ 로 스케일링되며, 여기서 $ h \circ L^{\leftarrow} $ 는 지수 $ \alpha $ 를 가진 정규적으로 변화하는 함수이므로 적절한 정규화를 보장한다.
• 수렴는 두 부분으로 분해된 적분을 통해 약한 수렴을 통해 유한차원 분포에서 증명된다: 하나는 함수가 점프 시간으로부터 멀리 떨어진 간격에서, 다른 하나는 잠재적 점프 주변의 이웃 영역에서이다.
• 증명은 $ M_1 $-위상에서의 첫 번째 통과 시간 사상의 연속성과 극한 과정의 자가유사성에 기반한다.
• 보조 정리에서는 천천히 변화하는 모든 함수가 그 점근적 행동을 변화시키지 않고도 엄격히 증가하고 연속적인 형태로 대체될 수 있음을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간격 시간이 천천히 변화하는 꼬리를 가질 때 재생 샷노이즈 과정의 한계 행동은 무엇인가?
• RQ2 비선형 스케일링을 통해 비퇴화적인 약한 극한을 얻기 위해 시간과 진폭 척도는 어떻게 변환되어야 하는가?
• RQ3 유한차원 분포와 경로 성질 측면에서 한계 과정의 성격은 무엇인가?
• RQ4 스케일링 함수 $ L^{\leftarrow} $ 는 수렴과 한계 과정의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 한계 과정은 명시적으로 특성화될 수 있으며, 그 증분과 마진 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 스케일링된 재생 샷노이즈 과정의 유한차원 분포는 $ (u_1^\alpha m^{\leftarrow}(u_1), \dots, u_n^\alpha m^{\leftarrow}(u_n)) $ 의 분포로 수렴하며, 여기서 $ m^{\leftarrow} $ 는 극한 과정의 일반화된 역함수이다.
• 한계 과정 $ m^{\leftarrow}(u) $ 는 독립적인 증분을 가지며, 마진 분포는 지수 분포를 가진다: $ \mathbb{P}\{m^{\leftarrow}(u) > v\} = e^{-v/u} $.
• 수렴는 간격 시간 분포의 천천히 변화하는 꼬리를 반영하기 위해 비선형 시간 변화 $ t \mapsto L^{\leftarrow}(tu) $ 를 통해 성립한다.
• 한계 과정은 거의 확실히 모든 고정된 $ u \geq 0 $ 에서 연속적이다. 이는 극한 과정의 경로 성질의 결과이다.
• 수렴는 유한차원 분포의 약한 수렴의 의미에서 성립하며, 한계 과정은 시간에 따라 변화하는 역스테이블 서브디퓨저이다.
• 결과는 선형 정규화가 실패하고 비선형 스케일링이 필수적인 천천히 변화하는 꼬리의 경우에 고전적 샷노이즈 수렴 이론을 확장한다.