[논문 리뷰] Renewal theory for extremal Markov sequences of the Kendall type

B. H. Jasiulis-Gołdyn, Karolina Naskręt외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 29.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 콘볼루션과 정규로 변형 함수를 사용하여 케네달 랜덤 워크에 의해 구동되는 극값 마르코프 수열에 대한 재생 이론을 수립한다. 케네달 콘볼루션에 대해 블랙웰 유형 정리와 기본 재생 정리를 증명하며, 단계 분포가 유한한 $ \theta $-번째 모멘트를 가질 경우 재생 함수가 $ R(t) \to \frac{2}{m(\theta)} t^\theta $ 로 渐近적으로 증가함을 보이며, 수렴 속도는 윌리엄슨 변환과 尾행동에 의해 결정된다.

ABSTRACT

The paper deals with renewal theory for a class of extremal Markov sequences connected with the Kendall convolution. We consider here some particular cases of the Wold processes associated with generalized convolutions. We prove an analogue of the Fredholm theorem for all regular generalized convolutions algebras. Using regularly varying functions we prove a Blackwell theorem for renewal processes defined by Kendall random walks.

연구 동기 및 목표

• 케네달 랜덤 워크에 의해 생성되는 극값 마르코프 수열에 대한 재생 이론을 개발하는 것.
• 특히 프레드홀름 및 블랙웰 정리를 일반화된 콘볼루션의 맥락으로 확장하는 것.
• 정규로 변형 함수를 사용하여 케네달 콘볼루션 하에서 재생 과정의 渐近적 행동을 분석하는 것.
• 윌리엄슨 변환을 통해 재생 수세기 과정의 척도 극한과 그 모멘트를 특성화하는 것.
• 중요한 꼬리 분포를 가진 단계 법칙 하에서 재생 함수와 간격 시간 분포에 대한 정확한 渐近 표현식을 수립하는 것.

제안 방법

• 논문은 일반화된 콘볼루션, 특히 케네달 콘볼루션을 사용하여, 독립적인 단위 단계의 합이 파레토 유형 분포를 따르는 비고전적 랜덤 워크 구조를 정의한다.
• 재생 과정의 분포를 특성화하고 재생 함수의 渐近적 성질을 유도하기 위해 윌리엄슨 변환을 핵심 분석 도구로 사용한다.
• 중요한 꼬리 분포를 다루고 재생 과정의 척도 극한을 도출하기 위해 정규로 변형 함수 이론에 기반한다.
• 일반화된 콘볼루션 설정에서 재생 측도에 대한 프레드홀름 방정식이 증명된다: $ m = \nu + \nu \diamond m $, 이는 재생 측도의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 블랙웰 유형 정리를 유도하기 위해 $ R(t+h) - R(t) $ 의 차이를 분석하며, 적절한 모멘트 조건 하에서 수렴이 $ \frac{2h}{m(\theta)} $ 로 이루어짐을 보인다.
• 약한 수렴 기법을 사용하여 정규화된 재생 과정의 극한 분포를 도출한다. 예를 들어 $ S_n / U(n) \Rightarrow Z^{-1/(\alpha-\theta)} $, 여기서 $ Z $ 는 복합 분포를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 프레드홀름 및 블랙웰 재생 정리는 일반화된 콘볼루션, 특히 케네달 콘볼루션의 맥락으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 단위 단계 분포가 정규로 변형 꼬리를 가질 경우 재생 함수 $ R(t) = \sum_{n=0}^\infty F^{\diamond n}(t) $ 의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ3 케네달 랜덤 워크 하에서 정규화된 재생 수세기 과정 $ N(t) $ 의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ4 윌리엄슨 변환은 일반화된 콘볼루션 하에서 재생 과정 분석을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 단계 분포가 유한한 $ \theta $-번째 모멘트를 가질 경우 $ R(t) $ 와 $ R(t+h) - R(t) $ 의 정확한 척도 극한과 수렴 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 케네달 랜덤 워크에 대해 기본 재생 정리가 성립한다: $ m(\theta) = E[T_1^\theta] < \infty $ 이면 $ \lim_{t \to \infty} \frac{R(t)}{t^\theta} = \frac{2}{m(\theta)} $.
• 블랙웰 유형 정리가 수립된다: $ h > 0 $ 이면 $ \lim_{t \to \infty} \left( \frac{R(t+h)}{(t+h)^{\theta-1}} - \frac{R(t)}{t^{\theta-1}} \right) = \frac{2h}{m(\theta)} $.
• 꼬리가 $ \overline{F}(x) \sim x^{-\beta} $ 인 단위 단계에 대해 재생 함수는 $ \alpha > \beta $ 일 때 $ R(t) \sim \frac{(\alpha - \beta)(\alpha + \beta)}{\alpha^2} t^{-\beta} $ 를 만족한다.
• $ \alpha = \beta $ 일 경우 渐近적 행동는 $ \alpha t^{-\alpha} \log t \cdot R(t) \to 2 $ 이며, $ R(t+h) - R(t) \sim \frac{2h}{\alpha t^{\alpha-1} \log t} $ 로 표현된다.
• 정규화된 재생 과정 $ S_n / U(n) $ 는 분포 수렴으로서 $ Z^{-1/(\alpha-\theta)} $ 로 수렴한다. 여기서 $ Z $ 는 특성함수 $ \Phi_Z(v) = (1 - iv)^{-2} $ 를 가진 복합 분포를 가진다.
• 수세기 과정 $ N(t) $ 는 $ \alpha t^{-\beta} N(t) / \theta \to Z $ 분포 수렴을 만족하며, $ \theta = \alpha - \beta $ 이고, $ \alpha = \beta $ 인 경우 $ U(y) \sim (y \log y)^{1/\alpha} $ 이다.