[논문 리뷰] Renewal Time Points for Hawkes Processes

Mads Bonde Raad|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형적이고 연령에 따라 변하는 Hawkes 과정을 분석하기 위해 재생 기반 접근법을 제안한다. 구체적인 재생 시간을 구성함으로써 마르코프 체인 이론의 적용을 가능하게 한다. 커플링 시간에 대한 모멘트 경계를 수립하고, 커널 함수의 양성 또는 단조성 조건이 없이도 기능적 중심극한정리(functional CLT)와 시간 평균 중심극한정리(time-average CLT)를 증명한다.

ABSTRACT

In the last decade Hawkes processes have received much attention as models for functional connectivity in neural spiking networks and other dynamical systems with a cascade behavior. In this paper we establish a renewal approach for analyzing this process. We consider the ordinary nonlinear Hawkes process as well as the more recently described age dependent Hawkes process. We construct renewal-times and establish moment results for these. This gives rise to study the Hawkes process as a Markov chain. As an application, we prove asymptotic results such as a functional CLT and a time-average CLT.

연구 동기 및 목표

• 비선형적이고 연령에 따라 변하는 Hawkes 과정을 분석하기 위한 재생 프레임워크를 개발하여 마르코프 체인 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 커널이 비유계 지지집합을 가질 경우에도 명시적인 재생 시간을 구성함으로써 이전 방법의 한계를 극복한다.
• 동일한 포아송 측도에 의해 구동되는 두 개의 Hawkes 과정 간의 커플링 시간에 대한 모멘트 결과를 도출한다.
• 일반적인 적분 가능성 조건 하에서 Hawkes 과정에 대해 기능적 중심극한정리(CLTT)와 시간 평균 중심극한정리(time-average CLT)를 수립한다.
• 점프 크기 분포에 대한 약한 모멘트 가정 하에서 재생 시간의 기하학적 에르고드릭성과 지수 모멘트 경계를 증명한다.

제안 방법

• 정지시간 절차를 통해 재생 시간을 구성한다: 미니마이제이션 사건을 기다린 후, 독립적인 랜덤화를 통해 재생할지 시간을 계속 진행할지 결정한다.
• 재생 시간 $\alpha_\eta$를 과정과 보조 i.i.d. 랜덤 변수들이 생성하는 확장된 필터레이션에 대한 정지시간으로 정의한다.
• 커플링 기법을 사용하여 동일한 포아송 측도에 의해 구동되는 두 개의 Hawkes 과정 간의 커플링 시간을 재생 시간 분포에 따라 경계한다.
• 카크의 정리와 모멘트 생성 함수 부등식을 적용하여 재생 시간 $\sigma$의 모멘트 경계를 유도한다.
• 생존 함수와 전이 확률을 사용하여 재생 시간의 기대값에 대한 기능적 표현을 재귀적으로 분해한다.
• 중간값 정리와 지배 수렴 정리를 적용하여 모멘트 생성 함수 접근법에서 지수 모멘트를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 지지집합을 가진 커널을 가진 Hawkes 과정에 대해 재생 시간은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 동일한 포아송 노이즈에 의해 구동되는 두 개의 Hawkes 과정 간의 커플링 시간에 대해 어떤 모멘트 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 커널 함수의 양성 또는 단조성 조건 없이도 기능적 중심극한정리(CLTT)를 증명할 수 있는가?
• RQ4 재생 시간이 유한한 지수 모멘트를 가지기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ5 Hawkes 과정의 연령 의존적 구조는 재생 시간의 존재성과 모멘트에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 재생 시간 $\alpha_\eta$는 명시적으로 구성 가능하며 시뮬레이션도 가능하므로, 커플링 및 시뮬레이션 연구에 실용적인 도구가 된다.
• 동일한 포아송 노이즈에 의해 구동되는 두 개의 Hawkes 과정 간의 커플링 시간은 유한한 모멘트를 가지며, 이는 커널 $h$의 $L^1$-노름에 의존한다. 이는 이전의 유계 지지집합을 가진 커널에 대한 결과를 일반화한 것이다.
• 일반적인 적분 가능성 조건 하에서 통합 과정 $t^{-1/2}\int_0^t H(Z_{[s-D,s]})ds$ 에 대해 기능적 중심극한정리가 수립된다.
• 일반적인 과거 역사 기능에 대해 시간 평균 중심극한정리가 증명되었으며, 이는 이전 결과를 비선형적이고 비단조적 커널으로까지 확장한다.
• 점프 크기 분포가 $q+1$-번째 모멘트를 가지면 재생 시간 $\sigma$는 모든 $q \geq 0$ 에 대해 $q$-번째 모멘트를 가지며, 점프 크기가 지수 모멘트를 가지면 재생 시간의 지수 모멘트도 유한하다.
• 점프 크기의 $q+1$-번째 모멘트가 유한할 경우 임베디드 마르코프 체인의 기하학적 에르고드릭성이 확립되며, 재생 시간에 대한 지수 모멘트 경계도 얻는다.