[논문 리뷰] Renormalization group for Anderson localization on high-dimensional lattices

B. L. Altshuler, V. E. Kravtsov외 3명|arXiv (Cornell University)|2024. 03. 04.

Random Matrices and Applications인용 수 5

한 줄 요약

논문은 차원에 걸친 Anderson localization에 대한 재정규화-그룹 프레임워크를 개발하고, 프랙탈 차원 D1의 베타-함수로 2D의 epsilon-확장 결과를 무한 차원 한계와 연결하며, 무관한 수정과 다체 로컬라이제이션에 대한 시사점을 분석한다.

ABSTRACT

We discuss the dependence of the critical properties of the Anderson model on the dimension $d$ in the language of $β$-function and renormalization group recently introduced in Ref.[arXiv:2306.14965] in the context of Anderson transition on random regular graphs. We show how in the delocalized region, including the transition point, the one-parameter scaling part of the $β$-function for the fractal dimension $D_{1}$ evolves smoothly from its $d=2$ form, in which $β_2\leq 0$, to its $β_\infty\geq 0$ form, which is represented by the regular random graph (RRG) result. We show how the $ε=d-2$ expansion and the $1/d$ expansion around the RRG result can be reconciled and how the initial part of a renormalization group trajectory governed by the irrelevant exponent $y$ depends on dimensionality. We also show how the irrelevant exponent emerges out of the high-gradient terms of expansion in the nonlinear sigma-model and put forward a conjecture about a lower bound for the fractal dimension. The framework introduced here may serve as a basis for investigations of disordered many-body systems and of more general non-equilibrium quantum systems.

연구 동기 및 목표

• Anderson localization 속성이 공간 차원에 따라 어떻게 달라지는지 이해를 자극하고, 무한 차원 한계를 제어된 방식으로 어떻게 취할지 파악한다.
• 고유 함수 샤넌 엔트로피에서 도출된 한 매개변수 스케일링 설명을 사용하여 프랙탈 차원 D1을 도입한다.
• 저차원 해석적 방법과 고차원/확장 그래프 한계 사이를 잇고 무작위 시스템을 밝힌다.
• 다체 로컬라이제이션 및 비평형 양자 시스템에 적용 가능한 수치 데이터 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 프랙탈 차원에 대한 베타-함수: beta(D)=d ln D / d ln N를 정의하고 RG 궤적의 엔벨로프를 연구한다.
• 평균 고유함수 샤넌 엔트로피 S(L)의 ln N에 대한 도함수로부터 D(L)을 계산한다.
• 하나의 매개변수 스케일링을 사용하여 RG 궤적을 해석하고 수치 데이터에서 Dc, alpha_c, nu를 추출한다.
• 로컬라이제이션 필드 이론의 고경사 terms에서 생기는 유관하지 않은 지수 y에 따른 유한 크기 스케일링을 분석한다.
• 临近临界점에서의 베타-함수를 비선형 시그마-모듈에서의 epsilon-확장 결과와 근접성 있게 연결하고 RRG 한계와 비교한다.

Figure 1: Renormalization group (RG) trajectories (solid lines) for $3d$ Anderson model obtained from the numerical calculation of the eigenfunction Shannon entropy $S(L)$ and the corresponding finite-size fractal dimension $D(L)=dS(L)/d\ln N$ . The envelope of RG trajectories (black dots) is the si

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원이 다르게 될 때 RG 스케일링에 따라 fractal dimension D1이 어떻게 흐르는가?
• RQ2 단일 매개변수 스케일링 베타-함수가 d=2,3,4,5,6에 걸친 Anderson 전이를 포착하고 RRG/무한 차원 한계에 접근할 수 있는가?
• RQ3 유관하지 않은 수정들(y 지수)이 유한 크기 궤적에서 어떤 역할을 하며 차원이 커질수록 어떻게 진화하는가?
• RQ4 d=2 근방의 epsilon-확장 결과가 높은 차원에서 도출된 수치적 베타-함수(D1)와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 프레임워크가 다체 로컬라이제이션 및 관련 비평형 양자 시스템에 어떤 시사점을 주는가?

주요 결과

• fractial 차원의 베타-함수는 확산된 영역과 임계점에서의 d=2 형태에서 RRG/무한-d 형태로 매끄럽게 진화한다.
• 유관하지 않은 지수들은 RG 궤적의 초기 부분을 지배하며 차원이 커질수록 더 두드러져 고차원에서의 수정된 흐름을 시사한다.
• 临界 fractal 차원 Dc는 d→∞로 갈 때 0에 수렴하고, 유한한 d에 대해서는 1/d의 유한한 함수에 의해 하한으로 제한되어 expander 그래프에서의 이중 규칙 로컬라이제이션 그림을 뒷받침한다.
• d=2 근방에서 D=1 근처의 베타-함수는 epsilon-확장 예측과 일치하며 D=1에서 유한 기울기 alpha1, 임계점에서 유한 alpha_c를 제공하고, 섭동 영역에서 대칭 관계가 나타난다.
• 단일 매개변수 베타 곡선으로 Dc, alpha_c, nu를 수치적으로 추출한 결과, 일부 차원에서 nu 값이 반자고전적 자기일관 이론의 예측에 근접하나 고차에서 VW 이론에 도전하는 편차가 나타난다.

Figure 2: A sketch of the full $\beta$ -function. (Upper panel) Behavior at finite dimension, where $0<D_{c}<1$ and the irrelevant direction at finite size becomes increasingly important as $d$ grows. (Lower panel) Behavior on expander graphs (as the RRG), where, near the critical value of $W$ , the