[논문 리뷰] Renormalization of determinant lines in Quantum Field Theory

Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 29.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 55인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양자장론의 국소 재규격화 기법을 사용하여 비자기적 편미분 연산자의 프리셰트 공간 위에서 복소해석적 함수를 구성하고 분류하며, '재규격화된 행렬식'을 정의한다. 이러한 행렬식들이 편미분 공간 위의 행렬식 선다발에 대한 해석적 자명화를 제공함을 증명하며, 1989년 퀼렌이 제기한 추측을 해결하고, 제타 행렬식, 가우시안 자유 장, 에프스타인-글레이저 섭동 이론을 통해 재규격화와 기하해석학을 연결한다.

ABSTRACT

On a compact manifold $M$, we consider the affine space $A$ of non self-adjoint perturbations of some invertible elliptic operator acting on sections of some Hermitian bundle, by some differential operator of lower order. We construct and classify all complex analytic functions on the Fr\'echet space $A$ vanishing exactly over non invertible elements, having minimal order and which are obtained by local renormalizations, a concept coming from quantum field theory, called renormalized determinants. The additive group of local polynomial functionals of finite degrees acts freely and transitively on the space of renormalized determinants. We provide different representations of the renormalized determinants in terms of spectral zeta determinants, Gaussian Free Fields, infinite product and renormalized Feynman amplitudes in perturbation theory in position space \`a la Epstein-Glaser. Specializing to the case of Dirac operators coupled to vector potentials and reformulating our results in terms of determinant line bundles, we prove our renormalized determinants define some complex analytic trivializations of some holomorphic line bundle over $A$ relating our results to a conjectural picture from some unpublished notes by Quillen [52] from April 1989.

연구 동기 및 목표

• 비자기적 편미분 연산자의 프리셰트 공간에서 비가역 원소에서 정확히 0이 되는 복소해석적 함수를 구성하고 분류하는 것.
• 양자장론의 개념인 국소 재규격화를 통해 이러한 함수들을 '재규격화된 행렬식'으로 특성화하는 것.
• 재규격화된 행렬식이 편미분 공간 위의 해석적 선다발에 대한 해석적 자명화를 정의함을 보이는 것.
• 재규격화된 행렬식이 양자장론의 분할 함수와 행렬식 선다발 간의 연결을 다룬 퀼렌의 1989년 비공식 추측과 어떻게 관련되는지 밝히는 것.
• 스펙트럼 제타 함수, 가우시안 자유 장, 무한곱, 에프스타인-글레이저 피카르 앰피티드를 사용하여 재규격화된 행렬식의 다수의 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 고정된 비가역 타원적 연산자의 하위순서 편미분으로 이루어진 아핀 공간 A를 사용한다.
• 양자장론의 국소 재규격화 기법을 적용하여 복소선을 따라 최소한의 성장률을 가지는 함수적 행렬식을 정의한다.
• 스펙트럼 제타 정규화와 제타-정규화된 행렬식을 사용하여 재규격화된 행렬식을 정의한다.
• 가우시안 자유 장과 무한곱 표현을 활용하여 행렬식을 확률론적 및 해석학적 형태로 표현한다.
• 위치 공간에서의 에프스타인-글레이저 섭동 이론을 적용하여 행렬식을 재규격화된 피카르 앰피티드로 표현한다.
• 유한한 해석성과 국소 유계성을 사용하여, 복소선을 따라 점별로 동일한 해석 함수가 전체 프리셰트 공간에서 동일함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자기적 편미분 연산자의 공간에서 비가역 연산자에서 정확히 0이 되고 무한대에서 최소한의 성장률을 가지는 복소해석적 함수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 국소 재규격화가 이러한 행렬식을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 양자장론과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 재규격화된 행렬식은 기하해석학에서의 행렬식 선다발과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 퀼렌(1989)이 양자장론의 분할 함수와 행렬식 선다발 간의 관계를 제안한 추측적 그림을 수학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ5 재규격화된 행렬식의 다양한 해석적 및 확률론적 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 재규격화된 행렬식의 공간은 유한 차수의 국소 다항형 함수의 덧셈군에 자유롭고 전형적으로 작용한다.
• 재규격화된 행렬식이 프리셰트 공간 A 위의 해석적 함수로서 비가역 편미분에서 정확히 0이 됨을 보였다.
• 재규격화된 행렬식은 A 위의 해석적 행렬식 선다발에 대한 해석적 자명화를 제공하며, 이는 퀼렌의 추측을 기하학적으로 실현한 것이다.
• 행렬식은 여러 표현을 가진다: 스펙트럼 제타 행렬식, 가우시안 자유 장 기대값, 무한곱, 에프스타인-글레이저 재규격화된 피카르 앰피티드.
• 증명은 복소선을 따라 해석 함수의 점별 동일성과 국소 유계성의 조합이, 프리셰트 공간에서의 테일러 급수와 코시 적분 공식을 통해 전체 동일성을 유도함을 보인다.
• 열핵이 Ψ+01,0 계산법에서 항등원으로 수렴하는 것을 이용하여 재규격화된 행렬식의 연속성과 해석성을 확립한다.