[논문 리뷰] Renormalization of Feynman amplitudes on manifolds by spectral zeta regularization and blow-ups

Nguyen Viet Dang, Zhang, Bin|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 10.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 44인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 매개변수 다수와 붕괴(blown-up)를 이용하여 리만다이안 다양체 위의 파인만 진폭에 대한 스펙트럴 제타 정규화 방법을 제안한다. 이는 열핵 곱의 특이성을 해결하기 위한 것으로, 스펙트르적으로 정규화된 진폭이 선형 잔여극을 가진 유리형 껍질로 확장됨을 보이며, 곡률이 있는 시공간에서 양자장론의 일致성 조건을 만족하는 재정규화 맵을 구축한다.

ABSTRACT

Our goal in this paper is to present a generalization of the spectral zeta regularization for general Feynman amplitudes. Our method uses complex powers of elliptic operators but involves several complex parameters in the spirit of the analytic renormalization by Speer, to build mathematical foundations for the renormalization of perturbative interacting quantum field theories. Our main result shows that spectrally regularized Feynman amplitudes admit an analytic continuation as meromorphic germs with linear poles in the sense of the works of Guo-Paycha and the second author. We also give an explicit determination of the affine hyperplanes supporting the poles. Our proof relies on suitable resolution of singularities of products of heat kernels to make them smooth. As an application of the analytic continuation result, we use a universal projection from meromorphic germs with linear poles on holomorphic germs to construct renormalization maps which subtract singularities of Feynman amplitudes of Euclidean fields. Our renormalization maps are shown to satisfy consistency conditions previously introduced in the work of Nikolov-Todorov-Stora in the case of flat space-times.

연구 동기 및 목표

• 평탄한 시공간을 초월하여 컴acts 리만다이안 다양체 위의 파인만 진폭에 대한 스펙트럴 제타 정규화를 일반화하는 것.
• 다중 복소 매개변수를 이용한 해석적 정규화를 통해 곡률이 있는 다양체 위의 양자장론에서의 파인만 진폭의 발산 문제를 다루는 것.
• 니콜로프–토도로프–스토라의 일치 조건을 만족하는 재정규화의 수학적 프레임워크를 구축하는 것.
• 특이성 해소를 통해 정규화된 진폭의 잔여극이 위치하는 애페인 초평면을 명시적으로 결정하는 것.
• 선형 잔여극을 가진 유리형 껍질에서 정칙 껍질로의 보편적 사영을 수립하여 진폭의 특이성을 제거하는 것.

제안 방법

• 타원형 연산자(예: 슈뢰딩거 연산자)의 복소거듭제곱을 이용해 다수의 복소 매개변수를 가진 여러 스펙트럴 제타 함수를 정의한다.
• 매트릭스 그래프의 스패닝 트리에 의해 매개변수 공간에서 열핵 곱의 특이성을 해소하기 위한 특이성 해소 기법을 적용한다.
• 변수 교체와 부분적 적분을 사용하여 분포적 순서를 유계화하고 유리형 연속에서의 잔여극을 분해한다.
• 국소 정규좌표를 사용하여 리만다이안 거리의 근사와 대각선 근처의 특이 행동을 분석한다.
• 보편적 사영을 통해 선형 잔여극을 가진 유리형 껍질에서 정칙 껍질로의 사영을 적용하여 재정규화 맵을 정의한다.
• 구오–페이차 및 제2저자에 의해 개발된 선형 잔여극을 가진 유리형 껍질 이론에 기반하여 수학적 엄밀성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비평탄한 기하학을 가진 컴팩트 리만다이안 다양체 위의 파인만 진폭에 대해 스펙트럴 제타 정규화를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 정규화된 진폭의 해석적 연속에서 특이성(잔여극)의 구조는 어떠한가?
• RQ3 파인만 진폭의 특이성을 체계적으로 어떻게 제거하여 유한한 재정규화된 값을 얻을 수 있는가?
• RQ4 붕괴와 스패닝 트리는 매개변수 공간에서 열핵 곱의 특이성을 어떻게 해결하는가?
• RQ5 구축된 재정규화 맵이 곡률이 있는 시공간에서 니콜로프–토도로프–스토라의 일치 조건을 만족하는가?

주요 결과

• 스펙트르적으로 정규화된 파인만 진폭은 다수의 복소 매개변수에서 선형 잔여극을 가진 유리형 껍질로 확장 가능하다.
• 잔여극은 다각형의 기하학적 구조와 파인만 다이어그램의 구조에 의해 결정되는 명시적 애페인 초평면에 지지된다.
• 붕괴와 매트릭스 그래프의 스패닝 트리를 이용한 방법으로 열핵 곱의 특이성이 해소되어 매끄러운 통합이 가능해진다.
• 보편적 사영을 통해 구축된 재정규화 맵은 곡률이 있는 시공간에서 니콜로프–토도로프–스토라의 일치 조건을 만족한다.
• 정규화된 진폭의 분포적 순서는 부분적 적분과 정규좌표에서의 타일러 전개를 통해 유계화된다.
• 대각선 근처의 주요 특이성은 리만다이안 계량에 의해 기술되며, 거리 함수의 2차 타일러 항은 $ g_{ u au}(v)h^ u h^ au $ 를 유도한다.