[논문 리뷰] Repdigits as products of consecutive balancing or Lucas-balancing numbers

S. G. Rayaguru, G. K. Panda|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 28.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반복된 동일한 숫자로 이루어진 수인 리프디짓(반복된 숫자로 이루어진 수)이 균형수 또는 루카스-균형수로 나타나거나, 연속된 이러한 수들의 곱으로 나타날 수 있는지 조사한다. 모듈로 산술과 나눗셈 순열의 성질을 사용하여, 균형수 중에서 B₁=1과 B₂=6 이외의 수는 6 이외의 숫자로 이루어진 리프디짓이 될 수 없으며, 연속된 균형수 또는 루카스-균형수의 곱은 다자리 리프디짓이 될 수 없다는 것을 증명한다. 유일한 루카스-균형수 리프디짓은 C₁=3과 C₃=99이다.

ABSTRACT

Repdigits are natural numbers formed by the repetition of a single digit. In this paper, we explore the presence of repdigits in the product of consecutive balancing or Lucas-balancing numbers.

연구 동기 및 목표

• 리프디짓(반복된 숫자로 이루어진 수)이 균형수 또는 루카스-균형수 수열에 포함되는지 여부를 규명하는 것.
• 연속된 균형수 또는 루카스-균형수의 곱이 리프디짓이 될 수 있는지 조사하는 것.
• 특히 모든 숫자가 6인 리프디짓이 존재하는지에 대한 열린 질문을 해결하는 것.
• 모듈로 산술과 나눗셈 성질을 적용하여 알려진 작은 사례 외에 이러한 리프디짓이 존재하지 않음을 배제하는 것.

제안 방법

• 소수(3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 20)로 나누어진 균형수 및 루카스-균형수 수열의 주기적인 잔여류 패턴을 분석함으로써 모듈로 산술을 적용하는 것.
• 균형수 수열의 강력한 나눗셈 성질(Bₘ ∣ Bₙ iff m ∣ n)을 사용하여 리프디짓 형태를 가정했을 때 모순을 이끌어내는 것.
• 다음과 같은 디오판틴 방정식을 다양한 정수로 나누어 Bₙ = a·(10ᵐ−1)/9 및 Cₙ = a·(10ᵐ−1)/9를 분석하여 가능한 숫자 a의 값을 제거하는 것.
• 모듈로 5, 7, 8에서 연속된 항 BₙBₙ₊₁ 및 CₙCₙ₊₁⋯Cₙ₊ₖ의 잔여류를 분석하여 어떤 리프디짓의 잔여류와도 일치하지 않음을 보이는 것.
• 각 숫자 a ∈ {1, 2, ..., 9}에 대해 사례 분석을 수행하여 두 수열에서 리프디짓 형태가 존재하지 않음을 체계적으로 배제하는 것.
• 루카스-균형수 수가 항상 홀수라는 사실을 이용하여 가능한 a의 값을 {1, 3, 5, 7, 9}로 제한하고, 모듈로 조건을 통해 추가로 사례를 배제하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균형수 수열에 1과 6 이외의 리프디짓이 존재하는가?
• RQ2 두 개 이상의 연속된 균형수의 곱이 다자리 리프디짓이 될 수 있는가?
• RQ3 C₁ = 3과 C₃ = 99 이외에 루카스-균형수 중 리프디짓이 존재하는가?
• RQ4 연속된 루카스-균형수의 곱이 두 자리 이상의 리프디짓이 될 수 있는가?
• RQ5 균형수 중에서 리프유닛(예: 66, 666 등)의 6배인 수가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 리프디짓인 유일한 균형수는 B₁ = 1과 B₂ = 6이며, 이 외의 균형수는 6 이외의 숫자로 이루어진 리프디짓이 될 수 없다.
• 임의의 두 연속된 균형수의 곱은 다자리 리프디짓이 될 수 없지만, B₁B₂ = 6는 단일자리 리프디짓이다.
• 리프디짓인 유일한 루카스-균형수는 C₁ = 3과 C₃ = 99이며, 이 외의 더 큰 루카스-균형수는 리프디짓이 아니다.
• 연속된 루카스-균형수의 곱은 두 자리 이상의 리프디짓이 될 수 없다.
• 균형수가 모든 숫자가 6인 리프디짓이 되기 위해서는 n ≡ 14 (mod 96) 및 m ≡ 1 (mod 6)를 만족해야 하지만, B₂ = 6 이외에 그러한 수는 알려져 있지 않다.
• 논문은 균형수가 리프유닛의 6배인 수(예: 66, 666 등)가 존재하는지 여부를 열어두고 있으나, 첫 200항에서 그러한 수는 발견되지 않았다.